宋百林老师的拓扑和代数拓扑是我迄今为止上过的最良心的课，收获很大，给分极好。总之强烈推荐，下面先说一下作业和给分然后再具体介绍一下这门课。作业很魔性，第一次是把书上的计算Torus knot的knot group的过程写一遍交上去，他会在写了想去讲的同学中挑几位上去讲（相应的写了想去讲的同学得分高一些）。第二次是他在三章布置了30-40道题，从中选了第二章的6个题交上去，也是类似操作。期末考试大概66分的题都是从布置的题目出，且其中一半都讲过，第一题24分写基本的拓扑空间的基本群，同调群和上同调群，这个也几乎是送给同学的。只有最后10分是新题目（这个第一问也比较简单，第二问比较难我还不知道有人做了出来。。。）最后总评我也不太清楚怎么给的，但是我见到的同学都拿了很高的分数，而且从考试方式来看我觉得认真做了布置的题目的同学拿高分是很轻而易举的事情。

教材是Hatcher的《Algebraic Topology》，是代数拓扑方面的经典教材，这个书的优点在于例子丰富，直观讲得好，缺点在于英语表述很怪，语言障碍略大，以及很多东西的说法不太清楚，需要自己多理解。内容是主要是前三章。

第一章讲的时间比较长，和拓扑学有点重合，不过基本群和复叠空间其实本来就比较难，难在比较需要良好的拓扑直观，宋老师非常善于形象解释拓扑直观，所以我是非常推荐来听宋老师的课的，很多拓扑直观他能解释的很到位，而且他很善于提炼思路，第一章里Van—Kampen定理和泛复叠空间存在性这两个定理证明非常的技术化，从中掌握其中的证明思路我觉得还是有必要的。当然我觉得讲的时间还是有点长了，挤掉了后面最为重要的上同调的时间。

第二章同调群内容要有趣的多，这部分大概花了一个多月时间，同调群主要内容是单纯同调和奇异同调的建立过程，Long Exact Sequence（需要对这个很熟练），Excision lemma（也是非常技术化的证明，需要用到重心重分，这个他上课也是只讲了思路），degree，胞腔同调（这个非常重要）以及MV序列。这部分内容需要一些代数不过感觉宋老师不太喜欢讲（我也不喜欢。。。代数还是自己课下推比较好）同调这部分Hatcher上题目还是比较友善的，而且很推荐做一下，而且对同调需要比较熟练，否则上同调学起来会有点吃力。

最后一部分是上同调，也是整门课最困难和最精彩的部分，当然时间已经完全不够了。所以只是强行开完了车，很多细节都跳过了。上同调主要是三部分内容 万有系数定理（同调也有对应版本），cup product、上同调环与Kunneth formula，流形的定向与庞加莱对偶。上同调的万有系数定理非常重要，其实就是给出了同调如何决定了上同调。而cup product这个东西给出了上同调的特殊结构（分次环结构），因此某种意义上上同调是更加自然的结构。这也是为什么上同调拥有更加丰富的几何信息在里面，后续的示性类理论将会进一步看到上同调的重要性。流形上的poincare对偶是一个非常漂亮的定理，事实上如果是de rham上同调这个结论有着非常清楚的微分几何上的意义，当然这里宋老师已经只是粗略介绍了，这不得不说是这门课最大的遗憾。

总体来说代数拓扑是一门非常困难的课，有抽象的代数概念，复杂的拓扑直观，高度技术化的手段。宋老师的课好在在内容丰富的Hatcher中提炼出了关键内容，并且对很多难以理解的几何想象部分做了清晰的解释。而且只要认真学了得分真的会好到超乎想象。

2017的宋百林副教授半学期还停留在基本群和映射度的讨论。这些是拓扑学就应该讲完的内容。进度上落后了。

多年过去以后，他既没讲明白Poincare's duality（Hatcher书上的讲法算讲明白了，其实这也是庞加莱自己对这个定理的认知程度，但还可以更好），又没讲明白de Rham theorem. 居然还能忍受没拿到学位的19数-田JH助教这种误人子弟的弱智。换个人来教吧。这两个没水平的东西，把纯数学的“代数拓扑”变成了“套公式拓扑”。

如果你既不会证明Hatcher theorem 3.30，又不会证明de Rham theorem, 那么别人问你“你会代数拓扑吗？你学过代数拓扑吗？”你必须大声回答：“没学过，不会！”