毕业多年，还是忘不掉毅哥上课经常说的那句话。

你可以不记得某个定理怎么证明，但是你要能在要用的时候想起它并且知道在哪找到。

这一点，做数学研究，终身受用。

当年的给分是40%作业+60%期末，说实话期末考试其实很水，只有20分的新题，剩下80分全是书上作业题原题或者改编的。当年学这门课的时候太敷衍了，一个弱智作业题没默出来，期末75总评85。

另一点，毅哥教课并没有把它教成PDE2前置课程的模样。我觉得这样做是对的，泛函分析里面很多东西确实是为了研究PDE而引进的，但是泛函分析有它自身的东西以及在别处的应用。

感兴趣的同学可以读一本比较新的书，Salamon写的泛函分析，这本书正文很好，习题可能对初学者太难了。其实下面提到的Reed和Simon那本现代数学物理方法也很好，就是证明有时候很跳跃。

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泛函分析这门课的教材是张恭庆的《泛函分析（上）》的第1、2章和第4章紧算子的谱理论。由于王老师中间出差一段时间，所以课程内容相比泛函分析H而言，少了一些。

讲的太好了，一步步搭建起理论体系，各个定理的内涵，之间的联系，讲的极其自然。的确是愿意放下手机去认真听的一门课。

王老师的课不仅是教会了学生基本的内容，而且像是给学生敞开了一扇大门，让学生在未来去 自发地 学习更多内容。这才是一门真正的好课， 而科大这样的好课，并不多。

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就是教材比较屑，张恭庆那本书读起来实在是味同嚼蜡。其实泛函应该要学一点拓扑比较好，不然弱收敛那些不好讲。张恭庆的书是没认认真真讲弱拓扑的。

中文书可以看许全华的《泛函分析讲义》英文书可以看brezis, 或者reed&simon合作的《现代数学物理方法第一卷··泛函分析》，或者ETHZ的D. Salamon近期出的泛函新书。

个人感受：

代数上，提前复习好无穷维实数和复数向量空间的基本结论，重点是直和，直积。

注意无穷维向量空间是标量的直和不是直积。

1 关于 hahn-banach定理：先画一维和二维的图像。就会发现，hahn banach定理无非就是凸集和直线分离，

直线既然要在一个凸集底下，那它的斜率不能太大，否则会在一边超过凸集，也不能太小，否则会在另一边超过凸集。这就是定理证明时，超限归纳步骤里做的事。所以hahn banach定理是平凡的。

2 关于barie category theorem：无论是完备度量空间还是局部紧致豪斯多夫空间，baire category定理说的都是一件事：可数重的积分过程。

从它可以推出极其有用的 开映射定理 ： 完备巴拿赫空间（或F空间）的向量拓扑不可变强也不可变弱。

从它可以很快得出 close graph 定理。

3 关于弱拓扑： 画一个拓扑向量空间里的交换图表，就可以看出，弱拓扑无非是一个嵌入到标准标量空间的过程。

从这个观点出发，我们去考虑重要的 banach alaoglu定理，就发现，它就是在嵌入上附加一些限制条件，使得嵌入成为闭嵌入，从而由tychonoff定理，作为紧集的闭子集也是紧的。

4关于伴随算子与 close range 定理（不要与close graph定理混淆）

伴随算子这里，其实就是结合拓扑，讨论无穷维线性代数，所以绝大部分结果都是平凡的。

close range 定理里唯一不平凡的就是一个先验估计。 以它开始，可以很快得出其他所有结论。

5 关于紧算子：首先由一些几何讨论证明，局部紧拓扑向量空间是有限维的。

某种程度上，紧算子就是为了这个有限维。

紧算子定理证明有很多方法，用伴随算子的方法可能比较好理解，因为它的证明 线性代数的jordan 标准型形式差不多。

当然Jordan标准型定理在代数里，无非就是从多项式环的一个线性表示，利用主理想整环上的有限生成模结构定理的平凡推论。

但是它也有一种初等的证明方法，就是用子空间链。

两种方法都可以推广到紧算子的谱定理的证明上。

6 关于无穷维向量值函数的积分和无穷维全纯函数：

还没有很好的理解方法。