看了看没有2023学期的评价，写一个（非科大本科的研一学生角度）

课程体验

作为和FEM并为计算数学第一学期必选的课，种种毛病（胡乱的板书，增量式更新PPT，小错误繁多）前人之述备矣，不再赘述。这学期张老师主讲模型方程部分（比以往好像更少了），从适定性之后均为蒋老师主讲。可能是模型方程部分比较简单，张老师讲的明显偏划水，简单的内容讲的太仔细，难的内容反而又几句带过，到后面讲到基于积分的差分方法和网格均值的差分方法以及什么ADI之类的，配合上乱七八糟的板书听的是一头雾水（看到之前的评论说要板书都记下来，这部分板书大都没有仔细推导，抄不抄其实差不多）

到了蒋老师主讲的部分，明显逻辑清晰重点突出了，板书虽然乱点至少有很多细节推导，记下来还是有很多帮助的（这部分板书我都记下来的）唯一的缺点可能是速度比较快，加上没有录课，经常一低头记笔记抬头就不知道讲到哪了，建议能有个录课。不懂得下课可以问老师，老师解答很清楚。总之课程前半部分体验一般般，后半部分要好一点，整体体验差强人意。

作业也就一开始多一点，还有四五次程序作业，后面作业也不多了。助教没啥可说的很负责，习题答案整理的非常好，点赞！！！

考试内容

这门课考试的一大问题就是内容实在太多太杂，老师不太划重点，除了课后习题也没啥参考题目。定理巨多，复习起来很要命。今年的题目很难，计算很大，题目如下，给后面选课的同学一点参考（不太记得了）

1. 复的待定系数的方程，分析PDE色散耗散，数值格式色散耗散，数值解色散耗散
2. 四个小题，方程L2稳定性，能量稳定性，最大模稳定性，反正一整套啥都有
3. 三个小题，好像是初边值问题设计差分格式，再分析最大模相容性和收敛性之类的
4. 两个小题，TVD条件判断，分析Roe格式的TVD条件

整体试卷很难，我每一道题都大概只能做一半。老师延长了时间但还是不会写。结合之前学期的考试，方程组适定性分析好像一直没考过，守恒型格式和色散耗散一定会考。

给分

超级无敌好，给老师和助教磕头。我卷面60左右，总评给捞到了80多，看之前有本科生同学评论说给分一般，可能老师会专门奶研究生吧，总之感谢老师不杀之恩。

整体体验大概就是这样，这门课程内容还是挺重要的，建议以后准备做NPDE的同学还是得（捏着鼻子）好好学吧。

写在前面：本点评基于一个将来不从事PDE数值解研究的大四咸鱼视角。

个人认为这门课属于介绍性课程，所以有相当多的细节并没有详细论述，如果以后从事这方面的研究可以等需要了解时去查找资料，出于应试目的的话完全可以忽略。以下将对本学期授课的每一章节进行评论并提出个人遇到的困惑。

张老师讲的内容：

第1章 绪论

没啥好说的

第2章 Fourier级数和三角插值

一开始讲了几个数学分析里面傅里叶级数收敛性的定理(逐点和依L2模)，如果忘记了完全可以回头翻数分教材。之后介绍了离散情形下的差分算子、三角插值等内容，后面有几条关于Fourier系数和三角插值的系数的定理挺难的，特别是证明，这也是这一章我感到迷惑的地方，不过考试没考，以后也应该不会考。

第3章 对流方程的常见格式构造与性质分析

本章先提出了一个对流方程(u_t=u_x)初值问题，然后介绍了经典分析方法：先假设初值是一个谐波，再考虑一般的初值(可以展开成Fourier级数)。这里需要理解一下特征线的含义。然后给了个FTCS格式，提出了一个困难：初值有微小变化时对解的影响会非常大，从而引出了格式稳定性的定义，由此引入了增长因子Q的概念。这里一定要学会往格式里代入一个谐波然后求出Q，因为之后遇到格式稳定性分析基本都是算出Q让它的模≤1即可。然后讲了一个差分近似解收敛于真解的定理，这里让我感到非常迷惑，因为给了3个前提条件，并且证明过程又臭又长还都用上了，看了好久加上和助教讨论才看懂证明。接着介绍了蛙跳格式，然后其神奇的稳定性分析又让我emo了一次，作业也让我证这格式稳定，书上各种Taylor展开保留余项更让我感觉头晕目眩。此后讲了CFL条件、隐式格式，比较好理解。接下来的截断误差的定义又让我不是很懂这是在讲啥，不过截断误差这块做几道题就知道该怎么算了。接下来是我一学期都没搞明白的用积分形式构造有限差分格式，这一部分内容我是真没想明白怎么保证精度的，直接放弃思考了。然后讲了二维情形的方程，跟前面差不多，只不过换了一本书，符号跟之前还不太一样，需要重新适应一下，并且作业更加迷惑。

第4章 扩散方程

本章提出了扩散方程(u_t=u_xx)初值问题，依然介绍了各种格式，蛙跳依然抽象，还有积分形式构造差分格式，我也放弃思考了。后面也讲了二维的情形，也讲了一些神奇的方法，比如ADI格式，这些看起来很繁杂但是还是可以理解的，会算Q就行了。3,4章一定要会的就是会算增长因子Q，算截断误差和整体误差，算CFL条件。其中算整体误差(CFL条件)时还需要自己估参数条件使格式收敛(满足CFL条件)。

第5章 适定性分析、差分方法各种性质、色散性与耗散性

这是本学期最迷惑的一章。适定性分析的各种乱七八糟的定理这里就不说了，证明还难得一p。说一下适定性分析这里比较容易让人迷惑的点：1. 方程从前两章的一个方程变成了方程组(即u变成了一个向量函数)，空间维数也不只是1维或者2维，所以抽象的求导算子让人一开始可能很难想象这个PDE方程组到底长啥样；2. 奇特的e的矩阵指数——e^A，这玩意数分和线代里都没有学过，当时学微分方程1时遇到这玩意也被搞得非常迷惑，实际上应该需要一些泛函理论来支撑的，但是大家都应该没有仔细研究过这玩意，所以在大量证明中出现e^A这种玩意我都不知道为啥可以这样证出来，只能硬着头皮背下来。下面差分格式性质的介绍我也学得很晕，导致考试出了个按无穷模相容我没反应过来啥意思。后面色散性和耗散性由于缺乏物理背景我只能硬背定义，格式的数值色散和数值耗散往往要Taylor展开分析，这对数理基础不够扎实的来说真是不小的挑战，不过考试放水没考这俩。MPDE方法听不懂，放弃思考。

蒋老师讲的内容：

第6章 变系数/非线性方程

第7章 非线性双曲守恒律方程

第8章 偏微分方程初边值问题

蒋老师上课的内容我考试没复习先懒得写了，听课感觉比张老师的会好一些，但是仍对她介绍的那些概念感到很不明觉厉，如果光从应试的角度来说，背定义和课堂笔记就好了，也不用管这些东西的动机是啥。

平时的书面作业我都是混进往年群找答案抄的，抄的时候会看一下，基本没有独立完成的时候，除非往年没布置过，那就只能乱写了，很多题目真的抽象。程序作业大多比较简单，就是用给定格式求数值解画图比较。最后期末考试考了比较简单的适定性分析和色散性耗散性分析、算Q和截断误差还有整体误差以及初边值问题按无穷模相容格式构造、还有40分蒋老师讲的内容(其实就是课堂讲过的，把笔记背下来就都会做，可惜我没复习)。蒋老师讲的我没怎么复习，空了一整题，那个相容格式我没构造出来，最后估计考了50左右吧，总评给了82，奶到令我感觉不可置信。

总结就是该会算的要会算，该背的要背，这门课就可以混过去了，没法理解的就别管了。

给大家提供一些整理吧，因为课程内容确实显得有些散乱，没有呈现出非常清晰的脉络。

计算数学在科大主要有如下几门课程：

• Level 1（大三）
  • 数值线性代数
  • 数值分析
• Level 2（大四，研究生）
  • 偏微分方程数值解（主要关注是抛物和双曲方程，有限差分法）
  • 有限元方法（主要关注的是椭圆方程，有限元方法）
• Level 3（研究生）
  • 非线性偏微分方程数值解（主要关注的是双曲守恒律方程/方程组）
  • （还有一些博士专业课）

偏微分方程数值解这门课就是这个方向的入门课程，所以概念和内容比较杂，主要关注的是最简单的一维线性问题（抛物方程和双曲方程），使用最简单直观的有限差分方法，数学工具主要是泰勒展开和Fourier分析。在偏微分方程数值解的范围内，还有一块对数学基础要求更高的重要内容被单独划出来作为一门课——有限元方法（主要关注椭圆方程）。

由于培养方案和学分转换规则的不合理，很多本校保研的同学会在大四和研一学两遍这门课（以及有限元）

教材：

• [Book 1] Gustafsson, Bertil, Heinz-Otto Kreiss, and Joseph Oliger. “Time Dependent Problems and Difference Methods,”
• [Book 2] Thomas, J. W. Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods.

参考书：

• [Book 3] LeVeque, Randall J. Numerical Methods for Conservation Laws.
• 张强《偏微分方程的有限差分方法》

说明：

• 两本教材都是讲有限差分方法，课程的大部分内容在两本书中都有出现，只是教材编写方式有所不同。张强的中文书也包括了课程中的大部分内容。
• 这些教材以及参考书所采用的记号并不一致，甚至完全相反。
• 课程前期以 Book 1 为主，后期以 Book 2 为主。
• 非线性双曲守恒律的讲义内容取自 Book 3，但是进行了简化，Book3 是后续研究生课程非线性偏微分方程数值解的主要教材。
• 三本英文书可以在这里找到：NPDE-USTC/NPDE-USTC (github.com)

主要内容以及对应的教材章节：

• 绪论 [Book 1 Chapter 1]
  • 背景介绍
  • Fourier分析基础
  • 基本记号
• 模型方程(一) [Book 1 Chapter 2]
  • （常系数，线性）一维对流方程的有限差分格式
  • （常系数，线性）一维扩散方程的有限差分格式
• 适定问题 [Book 1 Chapter 4]
  • 方程的适定性
  • 双曲型/抛物型方程组的适定性
  • 一般常系数方程组的适定性
  • 半有界算子
• 有限差分方法的基本理论 [Book 2 Chapter 1-2]
  • （部分内容穿插在前文中）
  • 相容性、稳定性和收敛性
  • Lax 定理
  • 稳定性证明
  • 耗散性和色散性 [Book 2 Chapter 7]
• 模型方程(二) [Book 3 Chapter 1-4]
  • （前面主要关注的是线性问题）
  • 非线性双曲守恒律方程的有限差分格式
• 初边值问题 [Book 2 Chapter 2]
  • （前面主要讨论的都是初值问题，无界或周期性边界）
  • 边界处理
  • 性质分析
  • 能量稳定性
• 二维问题 [Book 2 Chapter 4, Chapter 5]
  • （前面主要讨论的都是一维问题，这部分可能穿插在前文中）
  • 二维对流方程的有限差分格式
  • 二维扩散方程的有限差分格式

关于作业和小测：

• 有书面作业和程序作业，书面作业每周交一次，程序作业只有四五次
• 还有若干次的突击小测
• 程序作业非常easy，大概和数值分析的程序作业难度相当；（数值代数和有限元的程序作业就比这两个复杂多了）

出分了，总评72，只能说我非常庆幸自己是在大四而不是研一修了这门课。

先谈谈给分的问题，我是每次书面作业和编程作业按时完成，小测也是全部完成的，期末考试虽然考得不好，但自觉应该是属于中游偏下的位置，不是差到离谱的程度。

这个分数如果是本科生课，我也不会感觉太离谱，顶多算老师不捞人，但是放在研究生课里，72就是不及格的成绩了，我有点吓出一身冷汗的感觉。我也不知道老师是因为大四学生不需要绩点所以才给低了，还是对研究生学长们也是一样的给分，总之给分确实是很一般。

然后是授课的问题，这个课看ppt也不是，做笔记也不是，这门课的ppt只起大纲作用，把定理之类的东西给你列上去，但是不会写证明和计算的部分，而是由老师写板书补充。但是课后作业恰恰就是让你去做这些证明和计算的工作。结果就是我在课上来不及做笔记，回去看ppt又一头雾水，最后只能全靠自学。

对比而言，我这学期上了徐岩老师的FEM课程，那边的难度应该是要显著高于这边的，但是那个课做笔记是很舒服的，我在考试前有充分的复习资料，再加上徐老师给分比较奶，最后分数竟然还比这边要高不少，我自觉学到的东西也更多。

感叹一下，这学期开的两门计数方向课程真是一个鲜明的对比，授课内容相近，课时又相同，一下子就让人体会到上课体验的好与差之分了。