2025秋 2024秋 2023秋 2022秋 2021秋 课程号：MATH5010P01
- 课程难度：中等
- 作业多少：中等
- 给分好坏：一般
- 收获大小：一般
| 选课类别：基础 | 教学类型：理论课 |
| 课程类别：研究生课程 | 开课单位：数学科学学院 |
| 课程层次：本研贯通 | 学分：4.0 |
教学水平与课程体验
《偏微分方程数值解》由张梦萍和蒋琰两位老师共同教授。课程前期由张梦萍老师主讲，有学生反映她的板书零散且PPT频繁更新，课程内容难以掌握。不过，蒋琰老师的部分则被认为逻辑清晰，板书详细，尽管授课速度较快。整体而言，课程的体验因教学风格差异而存在波动，后半部分的接受度较高。
课程内容
该课程为计算数学学科的入门课程，重点涵盖线性问题和有限差分方法，涉及泰勒展开和傅里叶分析等工具。主要内容包括对流方程和扩散方程的格式设计与分析、方程的适定性、多种数值方法的稳定性和收敛性分析、非线性方程、偏微分方程初边值问题等。课程内容复杂且分散，缺乏一条明确的主线。
作业与助教
作业包括书面和编程两类，初期较多，后期减少。部分学生通过助教提供的整理资料和解答来完成作业，助教的工作得到了普遍的赞誉。课程的突击小测多用于点名性质。
考试与难度
考试被多数学生评价为内容多样而繁杂，覆盖多章节知识点，计算量较大。题目通常涉及较为基础的知识点，但需要细致的计算和分析，如格式稳定、色散耗散以及守恒型格式等。部分学生表示复习压力大，因定理繁多而难以明确重点。
给分情况
给分存在一定争议。部分学生表示获得了意外的高分，尤其是在考试表现欠佳的情况下，特别是针对大四学生和研究生，可能存在差异。然而，有本科生反映给分较为严格。整体上，形式上录较为灵活，有助于帮助部分学生顺利通过。
总体评价
综合来看，虽然该课程内容重要且涉及广泛，但教学过程中存在一定的挑战，尤其是针对初学者。然而，随着内容深入，一些学生可能会找到更清晰的方向与理解。考虑到计算数学专业的要求，仍然是一门值得投入时间和精力的课程，尤其适合有志于继续深入计算研究的学生。选择该课程时，理解教学风格差异以及利用好助教资源是克服难点的关键。
- 课程难度：中等
- 作业多少：中等
- 给分好坏：一般
- 收获大小：很多
- 难度：中等
- 作业：中等
- 给分：一般
- 收获：很多
给大家提供一些整理吧，因为课程内容确实显得有些散乱，没有呈现出非常清晰的脉络。
计算数学在科大主要有如下几门课程：
- Level 1（大三）
- 数值线性代数
- 数值分析
- Level 2（大四，研究生）
- 偏微分方程数值解（主要关注是抛物和双曲方程，有限差分法）
- 有限元方法（主要关注的是椭圆方程，有限元方法）
- Level 3（研究生）
- 非线性偏微分方程数值解（主要关注的是双曲守恒律方程/方程组）
- （还有一些博士专业课，课程名称起的比较随意，讲课内容也并不固定）
偏微分方程数值解这门课就是这个方向的入门课程，所以概念和内容比较杂，主要关注的是最简单的一维线性问题（抛物方程和双曲方程），使用最简单直观的有限差分方法，数学工具主要是泰勒展开和Fourier分析。在偏微分方程数值解的范围内，还有一块对数学基础要求更高的重要内容被单独划出来作为一门课——有限元方法（主要关注椭圆方程）。
教材：
- [Book 1] Gustafsson, Bertil, Heinz-Otto Kreiss, and Joseph Oliger. “Time Dependent Problems and Difference Methods,”
- [Book 2] Thomas, J. W. Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods.
参考书：
- [Book 3] LeVeque, Randall J. Numerical Methods for Conservation Laws.
- 张强《偏微分方程的有限差分方法》
说明：
- 两本教材都是讲有限差分方法，课程的大部分内容在两本书中都有出现，只是教材编写方式有所不同。张强的中文书也包括了课程中的大部分内容。
- 这些教材以及参考书所采用的记号并不一致，甚至完全相反。
- 课程前期以 Book 1 为主，后期以 Book 2 为主。
- 非线性双曲守恒律的讲义内容取自 Book 3，但是进行了简化，Book3 是后续研究生课程非线性偏微分方程数值解的主要教材。
- 三本英文书可以在这里找到：NPDE-USTC/NPDE-USTC (github.com)
主要内容以及对应的教材章节：
- 绪论 [Book 1 Chapter 1]
- 背景介绍
- Fourier分析基础
- 基本记号
- 模型方程(一) [Book 1 Chapter 2]
- （常系数，线性）一维对流方程的有限差分格式
- （常系数，线性）一维扩散方程的有限差分格式
- 适定问题 [Book 1 Chapter 4]
- 方程的适定性
- 双曲型/抛物型方程组的适定性
- 一般常系数方程组的适定性
- 半有界算子
- 有限差分方法的基本理论 [Book 2 Chapter 1-2]
- （部分内容穿插在前文中）
- 相容性、稳定性和收敛性
- Lax 定理
- 稳定性证明
- 耗散性和色散性 [Book 2 Chapter 7]
- 模型方程(二) [Book 3 Chapter 1-4]
- （前面主要关注的是线性问题）
- 非线性双曲守恒律方程的有限差分格式
- 初边值问题 [Book 2 Chapter 2]
- （前面主要讨论的都是初值问题，无界或周期性边界）
- 边界处理
- 性质分析
- 能量稳定性
- 二维问题 [Book 2 Chapter 4, Chapter 5]
- （前面主要讨论的都是一维问题，这部分可能穿插在前文中）
- 二维对流方程的有限差分格式
- 二维扩散方程的有限差分格式
关于作业和小测：
- 有书面作业和程序作业，书面作业每周交一次，程序作业只有四五次
- 还有若干次的突击小测（主要是点名性质的）
- 程序作业非常easy，大概和数值分析的程序作业难度相当；（数值代数和有限元的程序作业就比这两个复杂多了）
关于考试：
- 基本上每一章都至少有一题或一个小问
- 从考试的角度，最难的题一般出现在色散耗散分析和能量稳定性这两部分
- 其它的题主要就是算起来很麻烦，很多人都没算完
- 最近两年出得比较少的部分是最开始的Fourier部分，以及适定性分析的部分（把这两部分抽出来后，其它的内容其实显得更完整一些，不过这两部分在更早的年份都是考过的
