近世代数(陈小伍) 2017春 2016春 2012秋  课程号:001010
2017春 2016春 2012秋  课程号:001010
9.7(3人评价)
  • 课程难度:中等
  • 作业多少:中等
  • 给分好坏:一般
  • 收获大小:一般
选课类别:未知 教学类型:未知
课程类别:本科计划内课程 开课单位:数学科学学院
课程层次:学科群基础课 学分:4
课程主页:暂无(如果你知道,劳烦告诉我们!)
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各个方向一定要学好的内容:

主理想整环上的有限生成模: 在代数数论里非常有用。而且如果这个定理理解不好,学交换代数时思想也是很被动的。

自由群,自由模

环扩张,域扩张,尤其是无穷和超越扩张。

 

可以按照这个次序学习galois定理的证明:

首先,域之间的态射只能是单射,所以我们只考虑域扩张。

然后,一个自同构,等价于一个对称。

而扩域里每个代数元素的特征多项式其实存储了这个代数元素的所有代数信息,因此特征多项式的根之间彼此存在自同构对应。

然后是代数闭包的存在性。

然后是利用zorn引理归纳证明的代数扩张都可以嵌入到代数闭包里。

这个定理反映出了嵌入可以通过拆分域扩张为一次添加一个代数元素的过程来考察,这是galois理论用的最多的思路。

然后就可以按照这个思路考虑正规,可分扩张的自同构群。

正规扩张的意思是一个代数元素的所有对称元素都在扩域里,可分扩张的意思是代数元素的特征多项式没有重根。

既然这样,一个域扩张的伽罗瓦群必然会移动所有其他的元素,也就是定域为基域。反之,如果一个伽罗瓦群的定域就是基域,我们可以构造以与一个代数元素对称的所有代数元素为根的多项式,证明它就是代数元素的不可约的可分多项式。

然后利用线性表示的一些观察,证明有限维伽罗瓦对应。

最后利用逆极限,构造krull 拓扑,建立无穷伽罗瓦对应。

 

伽罗瓦理论在代数数论里有大量的运用。

当初我学完伽罗瓦证明五次方程不可根式解后,感觉一阵失落,以为伽罗瓦的激情完结了。

其实并不然,我们还有克罗内克青春之梦。

学好伽罗瓦理论,或许这个新的梦,就是你来解决的。

 

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人面桃花后面三段写的真好呀

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唧唧喳喳 2017春

我是17春修的这门课的(因为那个学期另一门课老师生病,近代只开这一个课堂)

据说16春的时候,这门课杀的天昏地暗,优秀率个位数,全班总评90+只有一人

然后这学期给分完全相反  保守估计开根号乘以十再加了几分

我还能说什么呢

17春一反常态堪比gpa之父的给分 我的良心不允许我给他17春这门课打低分

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ptsed 2016春

小伍老师的课很好,可以站在比较高的观点来看这门课,在对这门课本身已有了解的情况下。

对于相当一部分人来说,他的课难度还是不小的,有些时候他总是假设我们已经自学过。

 

 

 

老师用的教材是科大自编的渣的不能看的讲义,至少作业是从这上面留的。小伍还有两本书推荐:

1. M.Artin 的《代数》,很多科大讲义上没有的证明老师就会说“这个证明 Artin 上有”。

2.Rotman 的 《伽罗瓦理论》,据某神说老师讲伽罗瓦理论的应用的时候就是按照这本书讲的。

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陈小伍

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