出分了，期中85（中位数可能差不多也是这个数），期末87（中位数71），作业分感觉正常，总评极限4.0，感谢宋爹！

至今想起期末考试最后十分钟极限捞分，大概做上的内容全对了，映射度和一个神秘填空实在不懂。E^3去掉三条过原点直线的基本群，随手猜个同伦到S^2去掉6个点，直接写了5个Z自由积；然后流形证明题本来想随便写写然后顺着就推完了……只能说数学考试不到最后都不要放弃挣扎（）

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考完期末感觉被薄纱，选课一时爽，期末火葬场😭😭千言万语不如猜一手同伦直接写基本群😭😭，

建议多做做往年题，记住常见拓扑空间的基本群和同调群用于答填空题，然后点拓也不是完全不考（比如今年就考了证明流形的边界还是流形）。听闻宋老师下学期不开代拓，有生之年听不到了qwq

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本物院人第一门正经修读下来的数院高年级课程，也是本学期最喜欢的课。宋老师的课节奏适中、讲解详细，而且宋老师在给出概念后，会用形象的语言换个角度解释这些概念“具体发生了什么”，所以接受起来往往非常舒适，看书看到头昏脑胀的东西宋老师几句话就能说清楚。（嗯除了一些同伦过程有点抽象，宋老师在上面绘声绘色地描述但是窝完全get不到他的点，窝太菜了）

结论是我建议每个有志于理论物理研究的学生都来听一下拓扑课，隔壁火箭据说偏分析一点，宋老师这边偏代数的。顺便清醒地认识到妮可理论物理专业课（除了广相之外）有多屑。

课程大体内容可以分成三部分：点集拓扑，代数拓扑，单纯同调。

1、点集拓扑

宋老师这边点拓内容很常规（不像火箭会多讲一些tychonoff定理、arzela- ascoli之类的偏分析的高级内容）。在集合上定义拓扑也就是定义“开集”，满足三条公理；由此可以衍生出拓扑空间自身上的很多概念，如闭集、闭包、邻域、聚点、稠密性、拓扑基等，还可以构造新的拓扑空间，如子空间拓扑、乘积拓扑、度量诱导拓扑等。有了拓扑空间（object）自然要考虑他们之间的态射（morphism），这就是借助开集来定义的“连续映射”，这可以视为数学分析中“连续函数”在开集语言下的推广。如果两个拓扑空间存在双的、连续的、逆也连续的映射，则称二者同胚；这是极为重要的等价关系，同胚意味着点与点、开集与开集之间的对应。

（有趣的是，不像群同构那样“双射、同态”就可以得到同构，没必要对逆作要求；拓扑空间的同胚必须加上一句“逆也连续”，而且很容易找到相应案例。）

建立起拓扑空间之后，就要讨论一些拓扑性质。首先是分离性T1~T4，从弱到强地描述了拓扑空间内不同的两个点可以被如何“分开”（其实还有更弱的分离公理T0，“任取不同的两点a和b，总存在一个开集，包含a或包含b”，与T1的差别看起来就像是文字游戏，实则在某些地方也会出现，比如在环的prime spectrum上面建立Zariski topology，这个拓扑是T0，但未必T1）。之后是可数性C1＆C2，从弱到强地对拓扑空间的开集数量提出控制。理想的拓扑空间应当有足够多的开集以分离其中的点，又有足够少的开集以保留可数性（可控性）。接下来是神秘的Urysohn引理、Urysohn度量化定理、Tietze扩张定理；Urysohn引理允许我们对T4空间上的两个无交闭集定义阶梯函数，Tietze扩张定理告诉我们用这样的阶梯函数可以逼近任何连续函数，而Urysohn度量化定理提出了拓扑空间可度量化的充分条件：T1+T4+C2。

如果说以上两个拓扑性质更多着眼于局部，那之后的紧致性和连通性则更关注整体。紧致的定义可谓耳熟能详，“任意开覆盖都有有限子覆盖（有限开加细）”，这种有限性是一个非常好的性质，以至于最平常的欧氏空间都不紧致，所以有稍微放宽的局部紧致性和仿紧性（仿紧性可以用于给出度量化的充要条件，同时对于流形上的partition of unity的存在十分关键）。连通性指拓扑空间不能分解为两个无交开集的并，更令人关注的一种连通性是“道路连通”，指的是拓扑空间X中任意两点可以被一条道路（[0,1]到X的连续映射）连接；二者有着微妙的差别，道路连通是更强的连通性（见topologist’s sine curve）。

最后我们研究商空间与闭曲面。X模掉一个等价关系“~”得到商空间，而商映射是对“粘合映射”（X到X/~的自然映射）的模拟；闭曲面指连通、无边界点、紧致的二维流形，我们可以通过往球面S^2上“粘”环柄或莫比乌斯带，来得到两类闭曲面mT^2、nP^2，用多边形表示来证明闭曲面分类定理，即：闭曲面只有这两类，任何闭曲面一定同胚于某个mT^2或nP^2。（至于这些闭曲面互相不同胚，需要用代数拓扑的方法来证）。

（可惜闭曲面分类定理证明窝没仔细听，感觉有点琐碎qwq）

这部分推荐使用munkres的拓扑学，熊金城翻译版就行，非常简单易懂，没有老师讲也完全可以自学；还可以看看火箭的讲义，里面有好多升级内容（期中考了紧开拓扑，但是没讲，然后我也不会，小寄）。

2、代数拓扑

代拓内容其实也不多，概括而言无非是同伦、基本群、复叠空间以及他们之间的关系。

同伦描述的是连续变化的过程；映射的同伦有点像mathematica里面那个“交互式操作”指令，用一个[0,1]上的参数去展示某些内容随着参数值的演变。两个拓扑空间的同伦建立于映射同伦之上，与同胚对比可以明显看出“同伦”是更加广泛的等价关系。

我们研究拓扑空间上的道路，由于并非任意两条道路都可以连接成一条新道路，我们考虑通过同一个点（基点）的回路，并且发现在这些回路的同伦等价类之间可以自然地定义乘法，同时也有单位元（点道路的等价类）和逆元（道路反向的等价类），这就出现了群结构，即为基本群。在道路连通分支上，两点之间的道路类自然地给出了一个群同构，所以基本群可以定义在连通分支上而不再依赖于那个点的选取，同时拓扑空间之间的连续映射可以诱导基本群的同态。基本群极为重要，因为可以证明基本群是个同伦不变量。作为简单应用，我们可以证明圆环S^1的基本群为Z（需要先证道路提升引理，这个引理的证明会用到[0,1]是紧致度量空间的好性质）、n=2的Brouwer不动点定理（D^2到D^2的连续映射必有不动点）、代数基本定理等。

一个强力的基本群计算方法是Van- Kampen定理，这个定理允许我们用开集剖分拓扑空间X，保证任意三个开集的交道路连通，将计算X的基本群转化为计算各开集的基本群自由积模掉一个正规子群。（Van- Kampen的证明十分精妙，我觉得那个划分方块、移动边界属实把道路的同伦玩明白了……）

复叠空间与基本群关系密切，在这章会出现两个神秘定理（指证明很复杂）。对于道路连通、局部道路连通的E和B，复叠映射p:E->B是连续的满射，B中每个点都有邻域U，使得U在p下的原像是一系列无交开集的并，而且p限制在每个开集上都是同胚。形象地看，就是p把一系列E中开集叠到了B中同一个开集上，“叠了多少个开集”就称为p的叶数。

复叠空间有几个重要的性质：

（1）可以证明提升的唯一性，从而复叠映射诱导了pi_1(E,e)到pi_1(B,b),b=p(e)的单同态，同态的像记作H_e；

（2）H_e在pi_1(B,b)中的指数，就等于复叠映射的叶数；

（3）选取p^-1(b)中的不同的e，得到的所有H_e构成pi_1（B,b）的子群共轭类。

根据性质（1），我们考虑X到B的连续映射f，如果f能够提升为X到E的连续映射f‘，给出一点f’（x）=e，那f诱导的连续同态必定把pi_1(X,x)映到H_e内，e=f'（x）。问题是，什么情况下这一提升存在？映射提升定理表明，上述其实给出了充要条件：“f能够提升为X到E的连续映射f‘，f’（x）=e” 等价于“f诱导的连续同态把pi_1(X,x)映到H_e内，e=f'（x）”。（其实用道路直接构造一个提升还算容易，关键是要证明连续性）

有了复叠空间的概念，就会考虑对其分类，很自然地可以用一个交换图定义出复叠空间的同态和同构。一类特殊的复叠空间称为泛复叠空间“universal covering space”，即E的基本群平凡，而本章最神秘的定理莫过于泛复叠空间的存在性，即：任意道路连通、局部道路连通、局部半单连通（每点都有邻域，其包含映射诱导一个平凡同态；这里“半单连通”的引入很自然，可以画出提升映射的交换图，很容易发现如果泛复叠空间存在，B总会有局部半单连通的性质）的拓扑空间总有泛复叠空间；证明的方式是直接在道路同伦类空间上建立拓扑、给出一个映射、证明这个映射是复叠映射、证明E单连通。

进一步，给定pi_1(B,b)的子群H，通过在泛复叠空间中模掉某个等价关系，我们就可以构造出相应的复叠空间，使得该复叠空间的基本群拉到pi_1(B,b)中正好是H！由此就实现了用基本群分类复叠空间。（宋老师说正如Galois群与域的扩张，可惜窝不懂Galois）

同一个复叠空间上的自同构称为复叠变换，所有复叠变换具有群结构，称为复叠变换群D(E,p)；一类比较有研究价值的复叠变换是在“正则复叠空间”上，即H_e是pi_1(B,b)的正规子群。根据性质（3），选取不同的e时，得到的H_e都是一样的，再根据性质（2）很容易找到D(E,p)到pi_1(B,b) / H_e的一一对应并证明其为同构。由此我们可以实现基本群与复叠变换群的互推。

宋老师在拓扑课上讲的仅仅是代拓的入门，这部分内容我觉得参考munkres、尤承业、火箭讲义都挺好；hatcher看不懂，悲。（最后一节课听宋老师说代拓的后续内容，奇异同调、Hom(-,G)函子诱导上同调、同伦群等，好期待）

3、单纯同调

单纯同调基于单形，说实话我感觉这部分和前面代拓的画风差异巨大，因此摘出来自成一段。（我一直觉得单纯同调看起来像一个跑题但是跑到了正题、总共10页写了9页铺垫的long story……）这部分似乎火箭没讲，把隔壁的＠jgroot都馋哭了（bushi）

n维单形是欧氏空间中的n维三角形，由它的所有顶点唯一确定；单纯复形（以下简称复形）是有限个单形的集合，并且要求每个单形的面都在复形内、任意两个单形都规则相处（无交，或交集为公共面）。把一个复形K中的所有单形并起来，得到一个拓扑空间|K|；若有拓扑空间X同胚于|K|，则称K是X的单纯剖分。

（我问过宋老师怎么判断一个拓扑空间是否可剖分，他说没有通用的办法，但是一般来说没有局部无穷结构（如Hawaiian earring）的紧致空间都可以剖分emmm

每个单形根据其顶点排列顺序的奇偶可以分为两个定向，由此我们可以对复形定义“q维链群”C_q：所有q维定向单形自由生成的整系数Abel群，再模掉定向（相反定向相加为0）。进一步可以定义“边缘同态”partial_q : C_q -> C_q-1, 把C_q中的单形s映为其所有q-1维顺向面求和。容易证明连续两次边缘同态为0，这样我们得到了一个chain：

0 -> … -> C_q -> C_q-1 -> C_q-2 ->… -> 0

由此可以定义q维闭链群Z_q=ker(partial_q), q维边缘B_q=im(partial_q+1), 以及q维同调群H_q=Z_q / B_q（事实上我是先学过一点同调代数再听到的单纯同调课，因此看到这些结构就兴奋不已）；定义欧拉示性数为各维数单形的个数交叉求和（直接推广多面体的欧拉示性数），通过简单的秩关系就能得到Euler- Poincare公式，它将欧拉示性数与同调群维数的交叉求和之间画上等号。

0维同调群是自由Abel群，秩即为复形K的连通分支个数；1维同调群是|K|的基本群的交换化；对于更高维的同调群没有简单的把握。用剖分计算同调群的过程巨大神秘，简单的就是数单形、消掉边缘链找生成元、检查阶数，难的不会qwq

当然，可以把链群的定义推广到以交换群G为系数；特别的，以某个域为系数时，链群就变成了线性空间。

有了复形，接下来就要考虑复形之间的映射：单纯映射。单纯映射K->L把顶点映为顶点，单形映为单形，并且映过去的单形的顶点 就是原来单形的顶点的像。单纯映射一方面可以通过“把顶点映过去再张成单形”诱导链群之间的同态，事实上这会得到一个正经的chain map，进一步诱导了同调群的同态；另一方面由于单形上的任一点可以用顶点坐标唯一表达，单纯映射又可以通过线性的方式 诱导|K|到|L|的连续映射。

对于连续映射f:|K|->|L|, 如果有单纯映射phi，其诱导的连续映射“和f很接近”（指二者把每个|K|中的点，打到L的同一个单形的内部），那么称phi是f的“单纯逼近”。直观来看，phi是对于f的很好的模拟，就像comsol软件建模中在几何体上划分网格进行有限元分析一样。

问题是：给定连续映射f，随意做单纯剖分，是否总是存在f的单纯逼近？

好戏来了！答案是否定的，因为给定一个剖分，单纯映射的个数是有限的（单纯映射完全由顶点决定，而顶点个数有限）；而且很容易举出反例，即单纯逼近并不总是存在。但是如果将复形重新剖分，分得更细，就有希望用单纯映射去模拟f。用很技术化的手段可以证明：只要做足够多次“重心重分”（某种特别的重新剖分），任意连续映射f:|K|->|L|都有单纯逼近！

这样，我们想对可剖分拓扑空间定义同调群的目的就图穷匕见了；接着我们就可以证明，首先是重心重分不改变复形的同调群，然后是同一个连续映射f的两个不同单纯逼近，会诱导出相同的同调群同态。由此，f可以直接诱导同调群的同态，与如何重心重分无关；接着可以证明的是若f:|K|->|L|为同胚，那么f诱导了同调群的同构，由此对于一个可剖分拓扑空间X，可以直接找个剖分来定义X的同调群，与剖分怎么找也无关。至此，可剖分拓扑空间的同调群以及连续映射诱导的群同态已经定义完成。进一步我们会发现，同调群不只是拓扑不变量，甚至还是同伦不变量。

这一段充分展现了一种思路，即对于无法计算的问题，先将其复杂化从而可计算，再去证明所得的结果与复杂化的方式无关。虽然中间大量细节听不懂，但还是要感叹，数学真奇妙哇！

最后其实还有一点内容，关于映射度、不动点和一堆神秘定理。球面S^n到自身的连续映射诱导了n维同调群的自同态，由同伦不变性容易看出H_n(S^n)=Z，故f的诱导同态的作用就只是乘一个常系数，这一系数定义为f的映射度，显然同伦的映射其映射度也相同。应用比如通过求出球面上- id的映射度，可以证明S^2n上-id不同伦于id，进一步证明毛球定理。

后面还有个感觉比较重要的Lefshetz不动点定理，通过实数系数的链群推广欧拉示性数的定义，得到映射的Lefshetz数，并且claim：如果X到自身的连续映射f有非零的Lefshetz数，则f有不动点。（实在太神秘，窝听不懂了qwq

这么写下来真的感觉学到了好多，再想想什么前沿啊什么高等啊整天喂*，令人感慨。

上课内容：

今年应该是和往年一样，尤承业整本讲完。点拓部分完全没听，基本上就是介绍了基本的拓扑性质和闭曲面的分类定理。这部分翻翻书理解一下概念，然后积累一些例子和引理（例如Hausdorff空间中的紧集带来的一些命题）就行。代拓部分主要是基本群、复叠空间、单纯同调及其应用，教材翻起来比较龚布，和张恭庆半斤八两，容易看不明白在讲什么。本人巨大代数苦手，一看到代数的字就困惑害怕，侥幸有同学接济了网课链接，然后具有看书完全不明白而听老师讲一遍则完全明白，，，实在是对老师的讲课佩服不堪。同样地，我认为这部分仍然是，理解概念+积累例子，基本上感觉抽象不堪的命题放进基本的拓扑空间算一下就能理解是什么意思，反过来，如果并不理解这些概念，则它们几乎很难在大脑中停留超过一周，，，

作业：

全是教材上的题，数量不多，大致有两类，一类是算例子，另一类是把书上的概念和命题翻译成题目需要的形式。显然，如果不理解讲过的内容做作业自然是天方夜谭。总之是建议听课，我感觉对大多数人来说这是弄明白这门课在干什么的最快方式。

考试（和给分）：

期中全点拓，没什么可说的。今年期末题比较龚布，有几个题我去查卷时宋老师直言没见过就无法（完全）做出。比较神必的是期末考前宋老师在讲台上指出这套卷子不难，一个小时就能做完，然而事实上完全不是这样，于是查卷时我问他是否真的局的卷子简单，宋老师表示他的意思是及格很简单，我谔谔离场，，，

不能免俗，今年给分得算比较糟糕了，疑似334向下取整，本人具有卡89，，，调分不是天经地义，但是按今年期末难度来看大部分老师都会调，这样算下来可能就一两个人上了90。以后的同学自行取舍吧，和王火箭的拓扑H比起来，这边学得也不少，作业少一些，不看给分的话学习体验是非常好的了，，，

作为一名非数院出身的选课人, 感觉拓扑学起来的感受与近世代数颇有相似之处: 忘掉在先前数学课中学过的东西, 完全用集合与命题的语言引入每一个概念, 定理的证明大多也都是验证定义; 但如果能够结合其它课程的一些概念与定理, 理解起来又别有体会. 

期中考均分不高但说实话不难, 尤其是第1大题虽有10道判断题, 但考的都是 "L4一定L3" 这种基础内容, 谈不上迷惑性. 第4大题考了个课本原定理的证明, 我坐在考场里居然死活做不出来, 考完出来后翻了课本才发现.

p.s. 期中做到第7大题时遇到了自己 (当时) 没见过的Cantor集的概念, 拿着卷子去问助教, 助教和老师一脸懵地吐槽 "这不是你们在数分里都用过好几遍的吗..."

2024.1.8, 刚出总评, 惨淡收场.

拓扑算是这次大三转数学系后的第一场渡劫. 期中点集拓扑的部分还算能学懂, 拿了个高于均分的成绩. 本以为后半期的代数拓扑有着近代的底子加成能轻松学会, 但其实代数拓扑只是用到群的语言来叙述, 并不调用太多近代里的具体知识细节, 反倒是复叠空间的抽象性远超自己的理解能力, 完全无法学进去. 期末考完出来助教亲口鉴定 "这次的期末特别难" , 我才意识到自己在这门课里甚至连判断题目相对难度的能力都没有. 想起期末前最后一节课老师说 "考虑到有的同学后半学期复叠空间和基本群没学好, 我们还是出三四十分点集拓扑的题, 让大家可以过" , 当时不以为意, 现在想来自己似乎精准落在这个子集里.

查卷的时候去问宋老师 "期末38分会不会挂科" . 本来都做好了靠期中成绩和转系身份给自己求情的准备, 结果老师压根不问期中和平时直接说 "38不可能挂" , 脸上带着 "你怎么会有这种想法" 的表情看着我. 回去后又看了一遍分数分布, 不禁感叹数院垫背的摆子确实挺多...

复习数分B3的时候为了核对拓扑的部分又拿出教材查阅了几个地方. 没了期末考和总评的压迫, 拓扑也变得有趣而可爱起来. 虽然以后大概率不会用到了, 但还是计划等有空的时间重新自学一遍.

没什么可说的, 浪费了一门本该认真听的好课. 这似乎也不是自己头几回做这种事了.

点集拓扑大概是讲北大那本教材的前三章，考的其实也不难(非H)，H班最后两题很难。改卷好严。

代数拓扑部分(期中考试之后)，同伦和复叠空间部分是讲北大那本书，单纯同调只讲了两节课计算，CW复形、Van-Kampen定理、群在拓扑空间上的作用，以及最后的同调部分(奇异同调、正合列、映射度、胞腔同调)是按Hatcher的代数拓扑讲的。

代拓部分讲的很好，尤其是正合列以及之后那部分讲的比较细，简单的图表追踪带着我们一步步推。讲完胞腔同调时，被我们及时劝住结课。如果再往后讲就是MV序列，再往后就是上同调了。

这是我上大学以来第一次见到全班人一起劝老师结课。三周同调从零讲到胞腔同调，蛤车一路狂飙。不过不得不承认宋百林老师讲的真的非常非常好，用非常精炼的语言概括了Hatcher上尽可能多的细节与精华！我想宋老师如果教代数拓扑的话，那一定是一门非常值得学习的课程！

学了王作勤的微分流形才明白宋百林最后一个月狂飙蛤车的良苦用心，感谢宋老师！

不过他好像说以后不一定讲这么多了，他觉得我们都学的不好，貌似他不太能理解我们为什么学不懂。毕竟宋老师当年读书的时候一个星期读完一本GTM的同调代数……以及还有名言“同调代数比数分线代容易多了”。

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教材:

[1] 尤承业：基础拓扑学讲义，北京大学出版社，前六章。

[2] Allen Hatcher: Algebraic Topology, 2003. Chapter 0.1, 1.2, 2.1, 2.2.

作业多，每个星期有10-15题，拓扑作业一定要自己check清楚每一个细节，不然和没学差不多。

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我相信宋老师是个好人...尽管16春季优秀率很低很低，这应该是他的一个助教改卷太坑了导致的+那个学期教务处不让非线性调分。给分是30%作业+25%期中+45%期末，总评80，在那个学期已经算比较高的了，但17春季的拓扑学据说给分很好。

总之，极力推荐宋百林老师的拓扑课程，尤其是代数拓扑！

完结撒花*★,°*:.☆(￣▽￣)/$:*.°★* 等老师捞完，期末寄结束再细评

看起来像是加了一分，非常好调分，爱来自卡绩😇

课程内容：3学分的拓扑学只讲到了尤承业的覆叠空间，带*号的基本也都讲了，除了Jordon闭曲线定理，并且附录中的van-kampen定理也在课上讲了证明，提前一个星期讲完了内容，后面就开始吹水。宋老师的讲课内容在基本群之前与尤承业的书基本一致，进入代数拓扑后对内容的顺序有一些调整，也补充了小部分例子。

考试内容：期中都是点集拓扑没什么好说的，拓扑群今年又考了一次，munkres的书上有提到，可以看一下，没见过的话想要考场上做出来还是巨大困难。。至于期末，个人感觉有点神秘，课程减到了三学分，导致能够考试的内容少了很多，会考一些点集拓扑的内容，大概二三十分，老师本意是想送一点，但是效果我不好说😇。还有一类每年必出的题目找所有覆叠空间，今年是找出P^2VP^3的所有覆叠空间，大概是要找出自由群的所有子群。另外考试好像不太考一些覆叠空间的比较困难的证明题。

给分：今年应该是按比例加了一分，期中平均分70，期末平均分57。本人大概是期中20%，期末15%，总评89。

总得来说还是非常建议提前选修，相比大二上的微分方程，拓扑学还是显得格外友好，而且对一些后续课程的理解也会有更大帮助。不如把微分方程引论挪出大二上，换成拓扑学😋

学了拓扑学，我对商集的理解只剩下捏成一点，近世代数寄😇

内容提要：宋老师的拓扑学==尤承业全部内容+Hacher的部分拓展==点集拓扑速览+代数拓扑入门。

疫情影响，今年讲课速度比往年要慢，内容也相对少一点，但还是把整本尤承业都给讲完了，考试内容是尤承业上所有内容。上课进度为：6周讲点拓、6周讲同伦和复叠、3周讲完同调、最后一周讲不动点。宋老师在讲同伦的时候补充了少量Hatcher上的例子和定义，不过都不做要求。

身为一名计算方向、以为这门课主要是学点集拓扑知识的菜鸡，我这学期只是照着尤承业讲的来学，能跟上进度，Munkres、Armstrong、Hatcher都没怎么看。个人认为尤承业的内容和习题足够了，也能看懂学会。如果觉得不够学的话，点拓部分可以去看王作勤老师的讲义，代拓部分可以去看上面三本书。当然，最重要的是注重平时作业，平时作业都能独立完成的话考试也没什么大问题了。

期末考了84，37开刚好卡89。查卷的时候宋老师说37差不多也够了，除了优秀率和及格率别的也不想调分（惯例），目测是要被卡绩了( Ĭ ^ Ĭ )。

有一说一，科学计算方向学拓扑的用处不是很大，但个人认为点集拓扑的东西还是需要学会，而代拓部分的知识也值得了解一下。况且，完整、牢固的基础知识结构必然会对日后的科研带来很大的帮助。尽管我大约不会再去学习相关后续课程了，但是这个学期拓扑学还是给我留下了美好的回忆，并且也让我收获了许多。

最后，感谢两位助教（尤其是白熊助教）在考前给予的帮助、解惑，没有你们我这门课就凉了。

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（更新2020-09-16）谢谢宋老师，捞我到4.0，o(￣▽￣)ｄ

交流下来大约是每人+1，其中某位88的兄弟被捞到了89……太惨了。

最后补一张宋老师帅气的手写板书2333333

考完期末最大的感受就是平时习题跟考试内容关系不大，虽然考试考的都是很标准的东西，几乎完全围绕S^n，P^n，T^n三者展开。

一定要去思考如何求一些基本空间如射影空间之间的楔积或者是别的什么的复叠空间，尽管从课本来说一个自然的想法是求出基本群的所有子群即可，但是往往考察的基本群都是一些自由群，难以求出所有子群，所以更多要从具体条件入手思考。

这学期开始拓扑学删掉了三周的量，只上到复叠空间结束，内容基本完全与尤乘业讲义内容相同，一些例子都可以在Hatcher的第一章中找到，完全自学也是可以的，反正老师也不点名（

期中之前是认真听课的，期中之后没跟上进度就全翘课了。

老师上课还可以，把定理解释的很清楚。但是讲同伦的时候有点太过直观了，脑子想不出来的就比较困扰。。。

教材用的是尤承业，而且全部上完了。

我因为期末补天的原因van-kampen定理的证明和附录里几个关于同调群和同伦的代数证明都跳过了，比较可惜

考试基本都是书上内容，只有最后一题比较难。

总评是严格按照作业期中期末25：30:45来给的，而且不知道是不是因为新教务系统的原因，卡绩点的都没有调（不是说宋老师是gpa之父的么。。。）