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现在是我在NUS做博士后的最后一个学期，本学期被系里安排教研究生的PDE，其定位就类似于科大的微分方程2. 打开教务系统搜索往年开课，你会发现数院的微分方程课早在2011年左右就让本科生在大三下学期学习到微分方程2这样的课，不得不说当年提出并实施这个课程计划是一个超前于潮流的大胆尝试。这门课到现在仍然能保证常年开设也实属不易（NUS每两年才能开一次），时至今日我认为这个尝试是成功的：至少科大近几届产出了多位水平不错的PDEer，更不要说还有马骁（其实当时他也是这一年选的这门课）这种参与证明Hilbert第六猜想的牛人了。放眼国内除了就科大可能也就PDE重镇武汉大学有这个产出率了。

（一）课程定位与修读建议

关于科大的分析与方程课程的路线，我已经在 微分方程II（赵立丰） - USTC评课社区 (icourse.club) 里面提出了我个人的理解。近期我在主页上写了更为详细的说明、对“超前学习”的建议、以及我个人倾向使用的参考资料）。总之，将来对分析和PDE有需求的同学（不论你做理论还是应用），都应该尽早修读以实调和分析+PDE为主线的上述课程。

如果你已经【熟练掌握了数学分析】（至少包括史济怀上册+下册第14、15、17章），并且对【硬分析式的细节操作】（而非代数式的抽象）感兴趣，那么不妨就此开始学实变函数，能力强的同学甚至可以直接从Folland的实分析开始看（测度论+符号测度部分为第1、2、3、7章，Lp空间+傅立叶变换+广义函数为第6、8、9章）。同时，掌握基本的多变量微积分后（其实我觉得更重要的铺垫可能是Stein的傅立叶分析第2、3、5、6章），即可开始学习偏微分方程。古典理论结束后便可沿着“实调和分析基础”+“近代偏微分方程”两条路线齐头并进，【从而初步形成所谓的PDE世界观】学习的时候应当逐渐去体会“调和分析的发展动机之一是解决PDE问题，而调和分析自身的发展又反哺PDE的前进”这句话的含义。

你可以不选课或者只选其中的一部分；但是一旦决定走这条路，一定要自己学懂这些分析。如果你觉得课太多，那么微分方程的优先级高于实调和分析。

这样就可以早点试着做一些问题找找感觉，顺便花时间补一补其它方面需要的知识（比如黎曼几何）。偏微分方程的学习和科研差别是相当大的，要记住，“科研”是中国科大的招牌，不是那句“少废话，你GPA多少”。事实上，早在十年前就已经有不止一人从这条路线中走出来。当然在选择这条路线的时候一定要量力而行，根据自己的能力调整学习进度。【硬分析的学习急不得，需要千锤百炼形成条件反射一般的思维，并且对一些具体例子（尤其是反例）和构造较为敏感。】

（二）研究生PDE基础课的内容

本学期我在NUS教的课还剩5次课就结束了，在与一些高水平同行交流之后，并且考虑到科大的微分方程1将在未来拆分为ODE和PDE1两门课，于是我对课程内容设置又有了一些新的想法。

本人的理解，这门课应该叫【近代偏微分方程基础】，若按70学时的体量来规划，这门课应当至少包括如下内容（具体请参见我主页的新页面）

第一部分：整数阶Sobolev空间（Evans第五章节选）

这一部分我在教课的时候只讲了两个星期，其中跳过了到边全局逼近的严格证明、零迹定理的证明、Sobolev延拓定理的证明，嵌入定理的证明只讲了W^{1,p}的情况。因为我觉得与PDE本身不太相关的内容完全可以简短代过去，牺牲一些严谨性并不影响对PDE本身的理解。另一方面这些定理本身并不难理解，尤其是迹定理本质上就是反过来用分部积分公式，零边值的庞加莱不等式本质上就是微积分基本定理。

第二部分：二阶线性椭圆抛物方程的弱解理论（参考Evans第6章和第7章第1节）

（1）椭圆方程弱解存在性定理、椭圆正则性

（2）De Giorgi-Nash-Moser迭代法

（3）抛物方程弱解存在性定理、抛物正则性

这部分删去古典解的极大值原理，是因为我认为它们应该被下放到“拆课后的偏微分方程1”（古典偏微分方程）。同理我认为对称椭圆算子主特征值变分原理也应该下放到古典偏微分方程（可以用变分法证明），因为那个定理恰好是“分离变量法”的理论基础。

我在NUS教这门课的时候仍是照Evans书上按部就班讲的，但是讲课途中我就有点后悔了，后来与朋友交流得知北大那边也是把极值原理放到PDE1去讲。另外我没有讲到边椭圆正则性证明中“拉直边界”这个步骤，感觉留成课后读物看看就行了。

上面两部分我认为必须压缩在科大的半个学期以内完成，整数阶Sobolev空间讲一个月太浪费时间了。如果不记得结论，那么多翻几次书自然就记得了。其原因在于学习偏微分方程必须要亲自体会把理论用在具体实例上的威力，那么这些底层理论就必须精简、压缩。

第三部分：线性双曲方程

（1）一阶对称双曲组的Cauchy问题和非特征边值问题（参考John Hunter的讲义第8章或者Guy Metivier早年的各种讲义）

（2）R^d中的变系数线性波方程的正则性、局部适定性、有限传播速度（参考汪倩或者Jonathan Luk的非线性波方程讲义）

（3）拟线性波方程的局部适定性与爆破准则（参考汪倩的讲义第三节）

这部分的（1）和（2）-（3）没什么关系，前者的一般理论主要是难在“边值问题如何定解”，作为基础课基本上只能讲最简单的情况。边界条件不好的时候这类问题在标准Sobolev空间是不适定的，需要加权或者引入各向异性。

波方程的部分讲到拟线性情况的局部适定性为止的原因有二。第一，拟线性波方程的长时间适定性与渐近行为需要引进Christodoulou-Klainerman的向量场方法，对于一门基础课来说显得太specialized, 而且篇幅较大。第二，停在这个地方，既讲授了第一个非线性方程求解技巧（Picard迭代），又可以此爆破准则作为基础证明半线性次临界波方程的整体适定性，这是一个经典的具体实例。

第四部分：Sobolev空间的傅立叶刻画

（1）非整数阶Sobolev空间H^s及其嵌入定理、迹定理

（2）质量临界薛定谔方程的衰减估计、Strichartz估计、小初值整体解、位力恒等式等

（3）Sobolev空间W^{s,p}的Littlewood-Paley刻画

我已经无数次强调过：科大几乎所有的分析课程都无视了傅立叶分析的重要性。（1）部分我在备课时参考的是Bahouri, Chemin, Danchin的Fourier Analysis and Nonlinear PDEs 这本书的第一章，但是我感觉这本书时不时有些很莫名其妙的证明，所以我没有完全按照这本书去讲。（3）的话则可以参见陶哲轩的非线性色散方程那本书的附录A（其中跳过Littlewood-Paley平方函数定理的证明，这本质上就是Lp空间的“近似勾股定理”），我认为这是最有利于“直观理解”函数空间傅立叶刻画的资料了。（2）其实也可以换成三维空间中的cubic NLS（能量次临界），证法是一样的，可以看Dodson的Defocusing NLS这本书前两章。

这部分旨在介绍基本的傅立叶分析工具，包括函数空间的刻画、重新理解导数和分部积分、加细各类嵌入不等式的结论，以及引进Strichartz估计（其原型来自于傅立叶限制性估计，但实际可用TT*+HLS不等式秒杀，而HLS 不等式本质是Sobolev空间的临界嵌入）

NUS每学期一共13教学周（PDE每周4课时）而我的课被放假+期中考试冲掉至少4次，所以正课内容只上了11周（44课时），这些时间里我讲完了上述四部分内容中除去一阶双曲组和De-Giorgi-Moser迭代之外的所有东西，并且Evans第六章极大值原理和Harnack不等式我也讲了（后者只证了调和函数的情况，不过也是用对数梯度估计证明的），此外补充了一些关于广义函数的内容和HLS不等式的证明。

因为冲课太多，所以最后没有时间介绍Alazard, Burq, Zuily 2014年发在Duke. Math. J.的那篇水波方程适定性的文章了，这篇文章经过简化之后实际上是一个非常好的例子，基本能把上述所有内容全部串起来用一遍（当然中间具体计算某些非线性算子的仿线性化、仿线性算子的对称化这些繁琐的步骤可以跳过），让同学们看见哪怕是前沿的PDE研究也是依赖于很多朴素方法技巧的某种组合，真正体会到“原来我学的东西是真能用上的”。

第五部分：变分法与诺特定理（Evans第8章第1、2、5、6节和第9章第4节）

（1）欧拉-拉格朗日方程

（2）诺特定理

（3）Mountain-Pass引理、半线性椭圆方程的存在与不存在性(Pohozaev恒等式)

我在NUS教本科PDE的时候讲了这部分的（1）（2），但是现在我觉得可能还是放到PDE2里面好一点，因为学生在学本科PDE的时候了解的例子太少了。这里面比较深刻的例子，比如Evans书上用Morawetz恒等式证明波方程local energy decay之类的内容，对刚接触PDE的学生来说难以理解动机。

以上是我认为一门70课时的研究生PDE基础课应当覆盖的内容，基本兼顾了几类方程线性问题的基础理论。实际上如果很早就有兴趣方向的话，也没必要完全学完上述内容之后再去进行专业的学习，上面的第1、2部分和第3、4部分基本上是相互独立的，这就看个人兴趣和品味了。

个人认为PDE方向除了做椭圆抛物方程以外，最好是能够在做问题、积累例子的时候逐渐同时掌握“物理空间方法”（即直接对x变量操作，例如分部积分、直接拆括号找结构、Klainerman向量场方法等等）和“频率空间方法”（即对傅立叶变量ξ进行操作，例如Littlewood-Paley频率局部化、仿积分解、拟微分算子、仿微分运算等等技术）。上述调和分析工具在研究色散、流体、广义相对论、kinetic PDE等发展型方程的过程中显得极为重要，因为调和分析可以让你在频率空间十分精准地刻画出导数在不同频段的具体行为，仿线性化技巧可以让你精准地抽取出一个高度非线性项的“本质最高阶部分”的具体象征。做这些方向一定要尽早培养自己的调和分析功底。

（三）后续

后续科大能为我们提供的可能就不多了。按照往年的课表，能常年开设的只有二阶椭圆方程这一门课，其它还有一些稀稀拉拉的topic courses，取决于相关方向的老师有没有空开这门课。同学们到后期会发现自己没课上了，不知道该学什么了。当然到这个时间点，同学们也应该升学了，从本科生进化为研究生，选择下一步的道路。

个人认为科大需要一门单独的“双曲方程入门课程”作为本硕贯通课程或者硕士级别的选修课程，它不一定非得固定某本书或者某些内容当教材，或者说只用半学期以内的时间介绍一些基本知识：Sobolev空间的傅立叶刻画、拟线性波方程适定性、向量场方法处理long-time dynamics， 3D+null condition的小初值整体解，以及从不同角度如何解释null condition. 剩下的时间，则以具体的双曲PDE问题作为例子，引进不同方面的双曲方程技术，这样的话学起来才有动机，而不是像现在的微分方程2这样一个学期⅔的时间都在证明干巴巴的一般系数线性方程无聊透顶的各种估计各种不等式。另一方面，私以为双曲方程里面不少核心问题，都需要同时结合以向量场方法为首的“物理空间技术”和以调和分析/拟微分算子/仿线性化技术为首的“频率空间技术”，现阶段能同时掌握二者的人并不多，毕竟这些技术发展出来也就30年左右，但是这很大可能是解决部分硬核问题的可取之道。

私以为我们的分析基础教学并不比国外名校差，科大数院+少院数学平台的生源质量也处于国内除了top2以外最强的梯队，最头部学生也是有能力达到最顶尖的层次的。可真正肉眼可见的差距体现在【从本科生到研究生到researcher】的阶段，某次和同学聊天的时候，同学开玩笑说我们就像“世界top30以内的生源拿着top130以外的资源”。我想导师资源的差距并不是一年半载能够改变的，这需要郭嘉的稳定发展和持续投入。但回首一下，现在的数院相比2013年我入学的时候已经肉眼可见地变强；而当年数院从理学院独立后培养的第一代学生如今已经走在了一线，我们有什么理由不期待以后科大变得更好呢？当然，要把新鲜血液的优势转化为学生培养的优势，除了时间、金钱、paper以外，教学理念也需要进步。我们应当期待的是新鲜的血液能补足我们【与别人相比现存的肉眼可见的差距】，而不是把时间浪费在查出勤率和计算GPA小数点后第三位这种无聊事情上。

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赵老师的微分方程2真是一门硬课。这门课也算是让我们在近代pde（大概是六十年代的理论吧）这一块稍微入了个门吧。个人感觉这门课的角色是，教会学生近代PDE的基本语言以及处理二阶线性PDE弱解理论的基本套路，附加少量非线性的基本技术浅引。

微分方程2并不是讲如何解方程的一门课，因为真正要做的(非线性)方程是写不出解的表达式的。这门课主要讲的还是几类线性PDE的理论。大致涉及索伯列夫空间，二阶椭圆、抛物、双曲方程这三类的弱解理论，以及少量的变分法、守恒律的内容。

尽管我们用的evans的教材写得也算详细，但是还是有一些莫名其妙的跳步，而且整本书从来没有讲过“为什么这样证明”。赵老师上课基本上都把这些跳步给补全了，我想这一点非常好，因为有些推导对初学者而言实在是technical。但我觉得课后一定要把书上的定理自己推导一遍，Evans上的习题要会做（看着难，多花时间想想的话，难题其实很少）。当然，“能够推出所有细节”仅是最基本的一步，这并不意味着你能学好PDE。PDE也不只有分部积分与各种不等式！实际上，更重要的是你要想明白“为什么这样计算/构造”，也就是用某个方法去证明结论的动机。赵老师上课在这方面的确是花了不少时间讲，我觉得这也是去听这门课最有用的地方。

但是，对于华班大部分同学，尤其是学分析的同学，“验证出细节”并不是一件很困难的事情，一旦做到了，就不要“陷进细节”并沉迷于这种喜悦之中，一定要往更深层次的思考进发！比如说，我们在构造波方程能量的时候，总是在u_tt-Δu=f(u)两边乘以u_t之后再积分。或者一些更复杂的方程/恒等式，我们往往会乘以一个奇怪的乘子在方程两边，然后经过一系列分部积分或者其他的运算得到我们想要的结果：比如8.6节提到的波方程的Morawetz恒等式，就是乘了一个神奇的乘子，经过了繁琐的计算之后把非线性波方程化简成了一个一阶方程来研究。这个奇怪乘子的由来，便是上面提到的诺特定理！所以，要时刻记住，去思考这样证明的动机，尤其是结束sobolev空间进入PDE学习之后！

如果你认真学了这门课，那在后继学习与研究中遇到PDE也不会感到胆怯。赵老师的这门课的确做到了让学生了解PDE的基本语言这个目的。后面要学哪种类型的PDE就得去阅读不同方向的专著了，evans这本书的使命，这门课的使命也就结束了。

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以下内容建议结合另一评课 https://icourse.club/course/13215/#review-2919 食用。

Evans PDE第5-8、12章的详细推导以及习题答案，和一些学习建议，我都已经上传到 USTC学习资料 ，有需要的同学可以下载。但是切记，不要觉得“看上去很简单就不做了”，也不要轻视上面的作业题而且抄答案了事，学PDE一定要自己亲自计算与思考才有收获和体会！

关于教材：不要过度依赖Evans.

在学习Sobolev空间和椭圆方程、抛物方程弱解理论的时候（也就是普通班的内容，Evans第5、6、7.1节）以参考Evans的PDE教材为主。更多有关椭圆极大值原理以及更深层次的学习可以参考韩青、林芳华的书。此外，Evans 的7.3节，第8-9章都是值得一读的，有兴趣的同学可以看看。这套教材的坏处就是缺少双曲方程（波方程和一阶双曲组）、色散方程等方程的介绍。

双曲方程是Evans这本书写得很差的部分，书上7.2节可以跳过。这部分建议看Jonathan Luk（斯坦福大学）的波方程讲义，或者王倩（牛津大学）的非线性波方程讲义（谷歌都能搜到），至少应该知道线性波方程的求解方法，以及具有null condition的拟线性波方程小初值长时间解(2D/3D/≥4D的lifespan的证明)。Sogge的波方程讲义其实写得不是很好读（虽然他上课上得相当好），不如看Alinhac的hyperbolic PDE以及geometric analysis of hyperbolic PDE，而且Alinhac的书上还稍微介绍了一阶双曲组的基本理论。

撇开个人因素（赵老师是我大研、毕设的导师，以及五门课的老师），我给这门课10分原因是：赵老师关于PDE的讲解对学生眼界与格局的塑造有很大的帮助。一门课结束，不能让学生的眼界只局限于学过的这几个方程，而这恰是科大很多课程、不少学生、乃至相当一部分老师的通病！

不是说“微分方程我终于学完了”，而是说“微分方程我终于可以入门了”。

关于作业：

两周交一次，每次五道题左右，极少。

关于考试：

但凡老师放开了出题都能考到大家叫爸爸。

关于给分：

感天动地赵立丰。