来新加坡国立做博后两年了，教了两次本科PDE之后，明年的春季学期我被系里安排去教研究生的PDE，也就是类似于科大的微分方程2这样的课程。时隔多年回想一下，科大数院微分方程课程的安排可以说是【全世界范围内】为数不多能跟上现代PDE发展需求的。如果还能打开老教务系统，你会发现数院的微分方程课早在2011年左右就从古典ODE一学期+古典PDE一学期变成了大二上微分方程I（ODE+古典PDE）+大三下微分方程II（Sobolev空间、二阶方程的弱解理论、少量傅立叶理论、变分法、守恒律等等）。不得不说当年提出并实施这个课程计划是一个超前于潮流的大胆尝试。微分方程2这门课到现在仍然能保证常年开设也实属不易（NUS每两年才能开一次）。时至今日，我认为这个尝试是成功的：至少科大近几年每届平均能产出2-3个水平不错的PDEer，有的年份甚至有6个。放眼国内，除了就科大可能也就PDE重镇武汉大学有这个产出率了。

（一）课程定位与修读建议

关于科大的分析与方程课程的路线，我已经在 微分方程II（赵立丰） - USTC评课社区 (icourse.club) 里面提出了我个人的理解。

从微分方程的学习角度来看，科大本科生的相关分析课程的逻辑是很清晰的。

路线1（PDE经典解的线性方程基本理论）：数学分析→微分方程1

路线2（近现代PDE的基本/非线性分析工具）：实分析→高等实分析→（实）调和分析

路线3（近现代PDE的线性方程基本理论）：泛函分析→微分方程2

三条路线的交汇，加上少部分其它课程（例如二椭、以及某些topic课程），通向现代PDE研究。本人认为，微分方程2这门课被定位在大三下学期学习是正确的做法。它既巩固了前面实分析、泛函分析的学习，又为后面学习各类PDE的专题打下基础，至少能让你看懂大部分现代文献的基本Setting. 硬分析的学习急不得，需要千锤百炼形成条件反射一般的思维。

另一方面，从历史发展的角度来看，现有的泛函分析、实调和分析理论，其绝大部分的动机就是求解偏微分方程。线性泛函分析的应用在这门课里面体现得很透彻，而调和分析里面则更多侧重于Lp理论（例如奇异积分对应椭圆方程的W^{2,p}估计、Littlewood-Paley和震荡积分都是来自于色散方程的求解和解所在函数空间的确定、拟微分算子则是早年Hormander提出线性双曲组一般理论时得到大力发展）.

总之，将来对分析和PDE有需求的同学（不论你做理论还是应用），都应该尽早修读以实调和分析+PDE为主线的上述课程。

对于那些天降紫微星“the chosen one”，如果你在高中阶段就【熟练掌握了数学分析】，并且对【硬分析式的细节操作】（而非代数式的抽象）感兴趣，那么不妨在大一下学期就修读实分析。大二上微分方程1+高等实分析+泛函分析，大二下直接学习调和分析+微分方程2. 【从而初步形成所谓的PDE世界观】学习的时候应当逐渐去体会“调和分析的发展动机之一是解决PDE问题，而调和分析自身的发展又反哺PDE的前进”这句话的含义。

这样第三年就可以试着做一些问题找找感觉，顺便花时间补一补其它方面需要的知识（比如黎曼几何）。和较为普遍的【提前修读代数课】不同，这看上去是一条非同寻常的道路，然而十年前就已经有我的前辈从这条未曾设想的道路中走出来。当然在选择这条路线的时候一定要量力而行。【硬分析的学习急不得，需要千锤百炼形成条件反射一般的思维，并且对一些具体例子（尤其是反例）和构造较为敏感。】

学完实变+抽象测度之后先把Folland 3, 6, 8, 9大部分内容刷通，再去同时学调和分析+Evans Part II.(具体参考书请参见我的相关评课)。如果课程排不过来，你可以大二不提前选课或者只选其中的一部分；但是一旦决定走这条路，一定要自己学懂这些分析。

（二）微分方程II的课程内容

本人的理解，这门课应该叫【近代偏微分方程基础】。基本内容至少应该包括Sobolev空间，二阶椭圆抛物的弱解理论和极大值原理、特征值问题，线性波方程的弱解理论。除此之外，Sobolev空间的傅立叶刻画（缓增分布、非齐次/齐次Sobolev空间、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式与TT*方法、Littlewood-Paley刻画函数空间之类的）。事实上，傅立叶分析和偏微分方程之间千丝万缕的联系一直没有我们所学的分析/方程类课程中得到体现，科大几乎所有的课程都忽略了傅立叶分析的重要性。个人认为，PDE方向除了做椭圆抛物方程以外，最好是能够在做问题、积累例子的时候逐渐同时掌握“物理空间方法”（即直接对x变量操作，例如分部积分、直接拆括号找结构、Klainerman向量场方法等等）和“频率空间方法”（即对傅立叶变量ξ进行操作，例如Littlewood-Paley频率局部化、仿积分解、拟微分算子、仿微分运算等等技术）。上述调和分析工具在研究色散、流体、广义相对论、kinetic PDE等发展型方程的过程中显得极为重要，因为调和分析可以让你在频率空间十分精准地刻画出导数在不同频段的具体行为，仿线性化技巧可以让你精准地抽取出一个高度非线性项的“本质最高阶部分”的具体象征。做这些方向一定要尽早培养自己的调和分析功底。

明年春季我在NUS教研究生课MA5213-Advanced PDE. NUS的教学周只有13周，去掉公共假期和考试其实也就只剩11周（44课时）左右的教学时间。

我打算以Evans Part II为基础尝试一种极其大胆的教学方法：

第1周：弱导数、Sobolev函数基本运算（证明Leibniz rule）、Sobolev函数的光滑逼近（局部→整体→边界，边界最后一步不证）。作业：到边逼近最后一步、第五章习题4、11、17、18

第2周：迹定理（零迹定理和延拓定理跳过证明）、散度定理；Sobolev嵌入定理、紧嵌入(Rellich定理)、Poincare不等式；Morrey嵌入、可微性与Lip函数刻画。

第3周：春节放假一次。椭圆方程弱解定义、H^{-1}空间。作业：第五章习题7-10、14-15

补充习题：Poisson方程弱解存在性（变分方法）

第4周：弱解存在性定理(Lax-Milgram)、Fredholm二择一定理、特征函数给出正交基

作业：第六章习题2-5、11

第5周：主特征值变分原理：存在性和极小性、光滑性（内正则性定理）、不变号性质（极大值原理）。极大值原理、Hopf引理

作业：第六章习题8、9

第6周：Sobolev函数的差商、内正则性定理证明（到边界正则性证明跳过）；复习课

作业：第五章习题12、第六章习题7、13

补充习题（不作要求）：第六章习题14、15，梯度估计与对数梯度估计，特征值最小时区域必是球的证明，Di Giorgi-Nash-Moser迭代

第7周：期中考试；加上某次周五NUS会放假.

第8周：时空Sobolev空间、Galerkin逼近一致估计与存在性、抛物正则性定理。

第9周：抛物极大值原理、热方程的指数衰减定理；傅立叶变换、缓增分布与非齐次Sobolev空间、线性波方程存在性

作业：第七章4-8、10-11，第五章20、21

第10周：支于单点分布和|·|^{r-d}的傅立叶变换、齐次Sobolev空间、Sobolev嵌入定理（HLS不等式、紧嵌入）、质量临界薛定谔方程的Strichartz估计(TT*+HLS不等式, Dodson 薛定谔方程那本书的第1.2-1.3节，不作要求）.

第11周：Bahouri书“Fourier analysis and nonlinear PDEs” 第一章Morrey嵌入定理（high-low分解的雏形）、迹定理；Bernstein不等式（Tao附录A.2, A.3 A.5）、平方函数定理（不证明，不作要求）、Moser不等式（Evans习题5-21的一般形式）。

作业：H^{d/2}嵌入BMO、证明Tao色散方程不等式A.4, A.6、命题A.4、命题A.9.

第12周（不作要求）：Bony仿积分解。

第13周（不作要求）：水波方程局部适定性（div-curl分解、内部切向估计；自由边界演化方程的仿线性化）。

这部分我打算以Alazard, Burq, Zuily 2014年发在Duke. Math. J.上的一篇文章作为结尾，将整个学期学到的偏微分方程基本技术以这一个问题全部串起来讲（当然，中间具体计算某些非线性算子的仿线性化、仿线性算子复合之后的对称化这些繁琐的步骤当然可以跳过），让同学们看见哪怕是非常前沿的PDE研究也是依赖于很多朴素方法技巧的某种组合，真正体会到“原来我学的东西是真能用上的”。

以上是我认为微分方程2一学期应当覆盖的内容。现在微分方程2也不是必修课了，更不应该让一些课外因素影响这门课的前进。科大的春季学期研究生课一般能上15周正课，那么可以在上述基础上加细部分定理的证明，或者进一步拓宽知识面（例如讲一些Evans第8、9章的变分与非变分方法，或者Evans第8.6节的诺特定理，其告诉你“为什么能设计出各种神奇的乘子”）都是可行之策。

作为基础课，授课内容当然是追求广泛、普适而非深度。

我希望学生学完之后至少能认识到：偏微分方程≠椭圆抛物方程和极大值原理，调和分析里面的几个主要topic并不是相互割裂的，而偏微分方程的例子可以佐证它们之间有着千丝万缕的联系。

个人认为，在授课时：

（1）应当侧重L^2-based Sobolev空间而非一般的L^p空间，应当侧重W^{1,p}而非一般的W^{k,p}.

（2）应当在非必要的情况下将一般的椭圆算子简化为Laplace算子，以突出线性椭圆算子的真正核心；应当侧重对定理、方法的理解与动机挖掘。真正应当讨论一般椭圆算子的地方是【从Lax-Milgram定理引申到Fredholm二择一】，以及【椭圆方程内正则性定理】，从这里可以看出【为什么需要Fredholm二择一】、【为什么需要系数正则性是C^1和L^{∞}、为什么对区域边界的正则性有要求】、【为什么说Galerkin逼近本质上是分离变量法】。

（3）关于双曲方程，初学者可以看看Alinhac的Hyperbolic PDE以及后继内容Geometric analysis in hyperbolic PDE，接触一下波方程、广义相对论方程经常使用的所谓“null geometry”。这些书上介绍的都是R^n中的以波动方程为基础的理论，而一阶双曲组真正困难的是它的边值问题。

一阶双曲组自成体系，和波方程相差甚远，一般来说没有时间在课程里面专门介绍。有关一阶双曲组，也许可以读一下Evans的第3、11章。Evans并不是做双曲方程的，但这两部分多少能了解一些基本知识。一阶双曲组（或者双曲守恒律）的数学问题往往直接拿来刻画真正的物理现象。例如，可压缩理想流体（包括理想流体、磁流体、弹性力学）的几类强间断面问题（接触间断、涡层问题、激波稳定性问题）。一阶双曲组也用于空气动力学各种激波现象的刻画（例如马赫激波、音爆现象、马赫锥的产生等等跨音速激波现象）、气态星团模型的刻画，这里面可能涉及到椭圆-双曲混合型方程组的自由边界问题求解以及退化椭圆、退化双曲方程的研究。也许可以看刘太平最近新出的Shock waves这本书了解一些这方面入门知识。这是中国偏微分方程研究引以为傲的领域，过去几十年有太多海内外的华人数学家在这个领域做出了卓越的贡献。

（三）后续

后续，科大能为我们提供的可能就不多了。按照往年的课表，能常年开设的只有二阶椭圆方程这一门课，其它还有一些稀稀拉拉的topic courses，取决于相关方向的老师有没有空开这门课。同学们到后期会发现自己没课上了，不知道该学什么了。当然到这个时间点，同学们也应该升学了，从本科生进化为研究生，选择下一步的道路。

个人认为科大需要一门单独的“双曲方程入门课程”作为本硕贯通课程或者硕士级别的选修课程，它不一定非得固定某本书或者某些内容当教材，而是以具体的双曲PDE问题作为例子，引进不同方面的双曲方程技术，这样的话学起来才有动机，而不是像现在的微分方程2这样一个学期⅔的时间都在证明干巴巴的一般系数线性方程无聊透顶的各种估计各种不等式。另一方面，私以为双曲方程里面不少核心问题，都需要同时结合以向量场方法为首的“物理空间技术”和以调和分析/拟微分算子/仿线性化技术为首的“频率空间技术”，现阶段能同时掌握二者的人并不多，毕竟这些技术发展出来也就不到30年，但是这很大可能是解决部分硬核问题的可取之道。

私以为，我们的分析基础教学并不比国外名校差，真正肉眼可见的差距体现在【从本科生到研究生到researcher】的阶段。我想，导师资源的差距并不是一年半载能够改变的，这需要郭嘉的稳定发展和持续投入。回首一下，现在的数院相比2013年我入学的时候已经肉眼可见地变强；而如今当年数院从理学院独立后培养的第一代学生已经走在了一线，我们有什么理由不期待以后科大变得更好呢？当然，要把新鲜血液的优势转化为学生培养的优势，除了时间、金钱、paper以外，教学理念也需要进步。我们应当期待的是新鲜的血液能补足我们【与别人相比现存的肉眼可见的差距】，而不是把时间浪费在数分线代习题课这种垃圾时间。

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赵老师的微分方程2真是一门硬课。这门课也算是让我们在近代pde（大概是六十年代的理论吧）这一块稍微入了个门吧。个人感觉这门课的角色是，教会学生近代PDE的基本语言以及处理二阶线性PDE弱解理论的基本套路，附加少量非线性的基本技术浅引。

微分方程2并不是讲如何解方程的一门课，因为真正要做的(非线性)方程是写不出解的表达式的。这门课主要讲的还是几类线性PDE的理论。大致涉及索伯列夫空间，二阶椭圆、抛物、双曲方程这三类的弱解理论，以及少量的变分法、守恒律的内容。

尽管我们用的evans的教材写得也算详细，但是还是有一些莫名其妙的跳步，而且整本书从来没有讲过“为什么这样证明”。赵老师上课基本上都把这些跳步给补全了，我想这一点非常好，因为有些推导对初学者而言实在是technical。但我觉得课后一定要把书上的定理自己推导一遍，Evans上的习题要会做（看着难，多花时间想想的话，难题其实很少）。当然，“能够推出所有细节”仅是最基本的一步，这并不意味着你能学好PDE。PDE也不只有分部积分与各种不等式！实际上，更重要的是你要想明白“为什么这样计算/构造”，也就是用某个方法去证明结论的动机。赵老师上课在这方面的确是花了不少时间讲，我觉得这也是去听这门课最有用的地方。

但是，对于华班大部分同学，尤其是学分析的同学，“验证出细节”并不是一件很困难的事情，一旦做到了，就不要“陷进细节”并沉迷于这种喜悦之中，一定要往更深层次的思考进发！比如说，我们在构造波方程能量的时候，总是在u_tt-Δu=f(u)两边乘以u_t之后再积分。或者一些更复杂的方程/恒等式，我们往往会乘以一个奇怪的乘子在方程两边，然后经过一系列分部积分或者其他的运算得到我们想要的结果：比如8.6节提到的波方程的Morawetz恒等式，就是乘了一个神奇的乘子，经过了繁琐的计算之后把非线性波方程化简成了一个一阶方程来研究。这个奇怪乘子的由来，便是上面提到的诺特定理！所以，要时刻记住，去思考这样证明的动机，尤其是结束sobolev空间进入PDE学习之后！

如果你认真学了这门课，那在后继学习与研究中遇到PDE也不会感到胆怯。赵老师的这门课的确做到了让学生了解PDE的基本语言这个目的。后面要学哪种类型的PDE就得去阅读不同方向的专著了，evans这本书的使命，这门课的使命也就结束了。

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以下内容建议结合另一评课 https://icourse.club/course/13215/#review-2919 食用。

Evans PDE第5-8、12章的详细推导以及习题答案，和一些学习建议，我都已经上传到 USTC学习资料 ，有需要的同学可以下载。但是切记，不要觉得“看上去很简单就不做了”，也不要轻视上面的作业题而且抄答案了事，学PDE一定要自己亲自计算与思考才有收获和体会！

关于教材：不要过度依赖Evans.

在学习Sobolev空间和椭圆方程、抛物方程弱解理论的时候（也就是普通班的内容，Evans第5、6、7.1节）以参考Evans的PDE教材为主。更多有关椭圆极大值原理以及更深层次的学习可以参考韩青、林芳华的书。此外，Evans 的7.3节，第8-9章都是值得一读的，有兴趣的同学可以看看。这套教材的坏处就是缺少双曲方程（波方程和一阶双曲组）、色散方程等方程的介绍。

双曲方程是Evans这本书写得很差的部分，书上7.2节可以跳过。这部分建议看Jonathan Luk（斯坦福大学）的波方程讲义，或者王倩（牛津大学）的非线性波方程讲义（谷歌都能搜到），至少应该知道线性波方程的求解方法，以及具有null condition的拟线性波方程小初值长时间解(2D/3D/≥4D的lifespan的证明)。Sogge的波方程讲义其实写得不是很好读（虽然他上课上得相当好），不如看Alinhac的hyperbolic PDE以及geometric analysis of hyperbolic PDE，而且Alinhac的书上还稍微介绍了一阶双曲组的基本理论。

撇开个人因素（赵老师是我大研、毕设的导师，以及五门课的老师），我给这门课10分原因是：赵老师关于PDE的讲解对学生眼界与格局的塑造有很大的帮助。一门课结束，不能让学生的眼界只局限于学过的这几个方程，而这恰是科大很多课程、不少学生、乃至相当一部分老师的通病！

不是说“微分方程我终于学完了”，而是说“微分方程我终于可以入门了”。

关于作业：

两周交一次，每次五道题左右，极少。

关于考试：

但凡老师放开了出题都能考到大家叫爸爸。

关于给分：

感天动地赵立丰。

一学期的pde2课程终于结束了，是时候写个点评了 。今年又是赵立丰老师教。不得不说赵老师的水平实在是高，这学期虽然没有以前讲得多，但是凡是讲的都讲的比较完善了。今天晚上出了总评，给分实在是好，40%期中+40%期末+20%平时成绩+2分。给分上是绝对不用担心的。

今年赵老师讲课内容主要是Evans书的5-7章，其中第七章的双曲方程换了sogge的非线性波方程讲义。Evans算是一本细节很全的pde书了，但是Evans书的最大缺点就是motivation讲的实在是太少了。这方面就得靠赵老师上课补充才行。赵老师会在课上分享一些他对pde乃至整个分析的看法，这对学习pde是大有裨益的。学pde第一重要的就是motivation。Evans书每个方程都有对应的能量估计，或者叫先验估计，那么大家应该想一想为什么要做这样的估计，做这样估计的手段又有哪些？做估计的时候要看清楚，哪项是无关紧要的，哪项是主项，对整个方程起到至关重要的作用。我相信抛物方程的正则性难住过不少人，可是如果我告诉你Evans书上的(i)实际上是提高空间正则性，估计方法是方程两边乘ut积分用gronwall，最后剩下的H2项用椭圆正则性，(ii)实际上是提高时间正则性，估计方法是把ut满足的抛物方程写出来，然后把ut带到能量估计里面去呢？我相信大多数人都会理解的很好，这些东西Evans书上没有，上课老师也只会讲一遍，必须要自己去动手算一遍，才能知道里面的细节以及他的motivation。

其实这门课应该换个名字叫线性方程理论，课程内容和实际碰到的pde实在是相差很大，实际pde基本都是非线性的，线性方程理论（椭圆、抛物、双曲）基本上被hormander做的差不多了。这门课很大的问题在于，教的东西过于理论又没有实际应用。我这学期同时在上复几何，这门课倒是提供了不少pde的例子。譬如说Yau在解决calabi猜想的时候实际要解的方程大概是det(I+φ_ij)=expF这样一个高度非线性的方程（φ_ij是对φ求xi和xj的偏导），但是他在解决的时候仍然是要去做先验估计，最后用连续性方法，开性由隐函数定理给出，而闭性要用之前做的先验估计取极限，这其中用到的是椭圆方程的shauder估计而非Evans上的L2估计。虽然非线性方程比线性的复杂许多，但是核心还是用线性方程的理论，并且其实Evans上的方法有指导性作用。但是如果单学pde2这一门课，实在是食之无味。并且Evans上的结论大多数都是不够用的，譬如说抛物极大值Evans上要求系数和时间无关，但是实际上系数以及系数导数一致有界就可以有极大值原理之类的成立，这一点在几何里（譬如Donaldson热流就要用到）用处很大。正是因为我同时在上复几何和pde2，这门课才显得没有那么无聊，当然我不是说大家都要去学复几何，但是看一些解决实际pde的例子是大有裨益的。

这门课，学生痛苦，老师也痛苦。学习的内容无聊而且困难，老师出卷不知道怎么出，只能出成背书大赛，学生复习更痛苦，无法完全理解思路还必须得把过程记下来。每周的作业没有几道题会写，只能靠章神答案勉强度日。这样最后能学到什么呢？我想，这门课不能全靠老师的教学，必须自己主动去发现这门课所传授的理论的用处。

这学期开始的时候老师信心百倍的要讲到变分法，结果学期中意识到了这是一个多么困难的想法后就讲完了双曲方程就没有继续下去了，总的来说内容还是挺不少的，我感觉是我这学期学的最硬核的课程了。（虽然大佬听了我的想法之后告诉我：啊，这不是很慢了吗）课上涉及的内容包括但不限于evans上的对应章节，还有老师自己补充的一部分用Hahn-Banach定理解波方程的办法（参考书楼上已列出）。pde这门课的内容注定了要自己做不少课后的计算，很惭愧我每次都是考试前把我觉得简单的几个定理详细check了一遍就算完了，所以我感觉我学的实在是不怎么样，但是考试难度是真的不大，所以最后还是有个不错的分数的。

剩下的是我对这门课的一点碎碎念：我感觉这门课内容上虽然不少但是都不深入，据说这也是evans这本书的一个特点，但是我感觉毕竟这只是一门基础到不行的基础课，所以最重要的还是了解处理pde的较为现代的手法，最理想的话还是老师上课提纲挈领地讲思路和关键步骤的intuition，无关紧要的细节留下来课后自己验证（虽然这样对于本屑来说这门课将会变成死亡课程因为我根本不会这样做23333），我感觉赵老师已经在平衡这两个方面上做得挺不错了，至少我现在看到长达两页的分部积分已经不会像上微分方程I的时候一样开始睡觉了。