选课类别:基础 | 教学类型:理论课 |
课程类别:研究生课程 | 开课单位:数学科学学院 |
课程层次:本研贯通 | 学分:4.0 |
没上过这门课,但之前学黎曼几何的时候读过王老师的讲义,习题也做了相当一部分。王老师的讲课水平是没得说的。论难度而言,我之前觉得他的微分流形已经挺难了,然而比黎曼几何的讲义和习题仍然简单1919~114514倍。甚至我听说他那学期先后出差了一个月,有时候一次课要上掉两个lecture...
课程内容院长已经介绍得很好了,在这里我想附加一下,就是:
王老师的作业,大概一个月交一次吧,可是这作业量仍然堪称恐怖:每次作业10+大题,每道题少的三五问,多的十几问。也就是说一次作业你相当于做了几十甚至上百个小题目。并且要注意,几乎所有的习题都是在教读者新知识,这其中有很多后继内容里面涉及到的知识,例如共形拉普拉斯算子的性质(即,Δ-4d/(d-2)倍的数量曲率在共形变换下不变)、子流形几何、活动标架法、Topogonov比较定理等等。
很大概率你会一个晚上甚至一整天陷在一个题里面。比如让你证明某个球外面Schwarzschild度量的Ricci曲率为0(即,它是爱因斯坦方程的一个特解),你就得算至少一晚上。当然这个还算简单的,毕竟只要无脑计算Christoffel Symbol和R_ijkl再求迹就行了。让你验证共形拉普拉斯的一堆性质,一晚上还不够。然而,
一些也许用得上的参考资料:
刘世平老师的讲义、白正国《黎曼几何初步》、Peter Petersen "Riemannian Geometry", GTM 171、do Carmo的黎曼几何
最后再膜一发王火箭,,,
“OK, I will stop here.”
今天,我决定要进行一项从未有人达成过的挑战,距离 🚀 上次开设黎曼几何已有八年时间,是时候有人在受痴呆症的影响下通关黎曼几何了,这真的可能吗?
第一节课 🚀 讲完课程介绍之后就一转全英文授课,然后爆算了一节课的 Christoffel 符号和黎曼曲率张量(作为本科微分几何的回顾),似乎就奠定了整门课的基调。
对我来说,计算应该就是这门课的主要难点(之一)。事实上,相比于微分流形,黎曼几何的特点就是要用很多扎实甚至繁琐的计算来说话。我的个人体验如下:在微分流形(23 秋,🚀 授课),大部分内容都是能现场“听懂”的(指在略去一些细节之后,知道定理证明的大概思路),然而在黎曼几何里我是经常跟不上的,总是来不及欣赏完一个公式,🚀 就已经在频繁调用它了,还没来得及搞懂这个曲率条件又用到哪个比较定理中去,🚀 就已经把定理证完了。
除去听课以外,在实操中,计算也是一大难关。我的期中和期末的计算大题都没有完整算出,两次都是现场算破防然后去看别的题,发现别的题也不太会做,回头来计算没时间算。。感觉面对满屏的 Christoffel 符号还是要有一定的定力,以及在考场上跟这些玩意搏斗到底的勇气。。
个人感觉黎曼几何比较有趣的地方在课程的后半段,这时候会学到很多工具和定理,导出一些曲率与拓扑的关联。我个人对拓扑比较感兴趣,这些拓扑结果虽然都还比较初步,但足以给人一种 惊喜感,艺术感,____感。
了解了这套理论后,还可以尝试做一些有趣的小练习,比如考虑一个具体流形上是否存在满足 xx 条件的度量,从定理中去掉一些约束条件后是否可以构造反例之类的。
🚀 后半段的大体脉络是通过 Jacobi 场来联结曲率与拓扑(因为 Jacobi 场方程中有曲率项,它本身还是一族测地线的变分,零初值的 Jacobi 场直接与指数映射有关,从比较两个流形上的 Jacobi 场开始还能推出许多比较定理)。这块理论确有一个完整的体系,但各中技术还是挺琐碎的,感觉还是得多回顾多练习才能掌握。这次期末之前都没能把讲义仔细看完,还是很遗憾!
我没去上过这门课所以给分填了个一般,但是我一年前预习的时候就是看的王老师讲义,断断续续看了很长时间。我即使学过一遍再来看他的讲义还是觉得内容好多,更令我震惊的是听说那年王老师期末时候还出差了好久。
王老师的课无论是内容的深度还是广度都堪称数院之最,如果不愿意投入时间很可能完全跟不上,他作业里很多内容其实都是很多教材的正文内容,像Killing Field,Riemannian Geometry on Lie Group,Convex Function,Holonomy Group等重要内容都被作为作业题布置。
正文内容可以说干脆利落,直接被分为五大部分。黎曼流形上的结构,黎曼张量的代数理论,测地线及其衍生的工具(变分公式与Jacobi场,指数映射与测地坐标系,割点与割迹,指标形式),曲率与拓扑关系(这部分定理都是黎曼几何早期的重要结果),大概这些定理分为这么几类:曲率控制拓扑(Cartan—Hadamard,Bonnet—Myer,Synge,Preissman),比较定理(Rauch,Hessian,Laplacian,Toponogov,Bishop—Gromov),Sphere Theorem,最后一部分内容就是整门课的高潮:Hodge Theory and Bochner tech。我记得我去年年底看完Hodge Theory之后被其结论深深震撼,直接下定决心去找王老师做有关Hodge Theory的大研,k次调和形式构成的群同构于de rham上同调群进而同构于k次R系数奇异上同调群,这实在是非常令人惊叹的,被认为是划时代的定理,而从中发展的Bochner tech则是几何分析的起点,给出了Ricci曲率张量和Laplace算子的关系,那么椭圆方程的理论也就成了必要的。这两个理论虽然在这门课介绍只是蜻蜓点水,但毫无疑问这是最漂亮的结果。
相对于刘老师强调几何直观的娓娓道来和细致的讲解,王老师的课显得“不近人情”,想要学到东西必须刻苦付出,这个讲义没有太多细节,大量很困难的内容都需要自己验证,作业难度也是很大,就连纯粹的计算题也是非常重要的例子,比如说去计算广义相对论中大名鼎鼎的史瓦西度量的Ricci分量,整整算了我大半天的时间。
最后吐槽一下两位老师的记号是完全相反的,导致我切换记号的时候造成了一定麻烦。。。其实这是黎曼几何这个学科的通病。建议最好是完整的看完一本书再去看别的书。。。否则真的适应不了
几何素养大大大大提升,唯一的遗憾就是谱理论刚开始就结束了。讲句题外话感觉一两门几何课的广度对于理论物理是不太够,可惜火老师最近有编写教材任务需要反复教一些课,不过上完火老师的课之后自己看资料的速度提高了3-5倍,小论文写了个Ambrose Singer对规范场论也有很大帮助。附带无意拍下的可爱僵尸步火哥。
深夜写关于cut locus的作业破防的时候搜到了Thurston写的答案,顿时又有了动力。https://mathoverflow.net/questions/62025/an-elementary-question-about-the-cut-locus/62032#62032
此答案最后编辑于2011年4月17日,距离他的死亡还有491天。