残  暴

没上过这门课，但之前学黎曼几何的时候读过王老师的讲义，习题也做了相当一部分。王老师的讲课水平是没得说的。论难度而言，我之前觉得他的微分流形已经挺难了，然而比黎曼几何的讲义和习题仍然简单1919~114514倍。甚至我听说他那学期先后出差了一个月，有时候一次课要上掉两个lecture...

课程内容院长已经介绍得很好了，在这里我想附加一下，就是：

一定要做习题！

王老师的作业，大概一个月交一次吧，可是这作业量仍然堪称恐怖：每次作业10+大题，每道题少的三五问，多的十几问。也就是说一次作业你相当于做了几十甚至上百个小题目。并且要注意，几乎所有的习题都是在教读者新知识，这其中有很多后继内容里面涉及到的知识，例如共形拉普拉斯算子的性质（即，Δ-4d/(d-2)倍的数量曲率在共形变换下不变）、子流形几何、活动标架法、Topogonov比较定理等等。

很大概率你会一个晚上甚至一整天陷在一个题里面。比如让你证明某个球外面Schwarzschild度量的Ricci曲率为0（即，它是爱因斯坦方程的一个特解），你就得算至少一晚上。当然这个还算简单的，毕竟只要无脑计算Christoffel Symbol和R_ijkl再求迹就行了。让你验证共形拉普拉斯的一堆性质，一晚上还不够。然而，

你  要  挺  住  ！（震  声）

一些也许用得上的参考资料：

刘世平老师的讲义、白正国《黎曼几何初步》、Peter Petersen "Riemannian Geometry", GTM 171、do Carmo的黎曼几何

最后再膜一发王火箭，，，

今天，我决定要进行一项从未有人达成过的挑战，距离 🚀 上次开设黎曼几何已有八年时间，是时候有人在受痴呆症的影响下通关黎曼几何了，这真的可能吗？

困难的地方

第一节课 🚀 讲完课程介绍之后就一转全英文授课，然后爆算了一节课的 Christoffel 符号和黎曼曲率张量（作为本科微分几何的回顾），似乎就奠定了整门课的基调。

对我来说，计算应该就是这门课的主要难点（之一）。事实上，相比于微分流形，黎曼几何的特点就是要用很多扎实甚至繁琐的计算来说话。我的个人体验如下：在微分流形（23 秋，🚀 授课），大部分内容都是能现场“听懂”的（指在略去一些细节之后，知道定理证明的大概思路），然而在黎曼几何里我是经常跟不上的，总是来不及欣赏完一个公式，🚀 就已经在频繁调用它了，还没来得及搞懂这个曲率条件又用到哪个比较定理中去，🚀 就已经把定理证完了。

除去听课以外，在实操中，计算也是一大难关。我的期中和期末的计算大题都没有完整算出，两次都是现场算破防然后去看别的题，发现别的题也不太会做，回头来计算没时间算。。感觉面对满屏的 Christoffel 符号还是要有一定的定力，以及在考场上跟这些玩意搏斗到底的勇气。。

有趣的地方

个人感觉黎曼几何比较有趣的地方在课程的后半段，这时候会学到很多工具和定理，导出一些曲率与拓扑的关联。我个人对拓扑比较感兴趣，这些拓扑结果虽然都还比较初步，但足以给人一种 惊喜感，艺术感，____感。

了解了这套理论后，还可以尝试做一些有趣的小练习，比如考虑一个具体流形上是否存在满足 xx 条件的度量，从定理中去掉一些约束条件后是否可以构造反例之类的。

🚀 后半段的大体脉络是通过 Jacobi 场来联结曲率与拓扑（因为 Jacobi 场方程中有曲率项，它本身还是一族测地线的变分，零初值的 Jacobi 场直接与指数映射有关，从比较两个流形上的 Jacobi 场开始还能推出许多比较定理）。这块理论确有一个完整的体系，但各中技术还是挺琐碎的，感觉还是得多回顾多练习才能掌握。这次期末之前都没能把讲义仔细看完，还是很遗憾！

我没去上过这门课所以给分填了个一般，但是我一年前预习的时候就是看的王老师讲义，断断续续看了很长时间。我即使学过一遍再来看他的讲义还是觉得内容好多，更令我震惊的是听说那年王老师期末时候还出差了好久。

王老师的课无论是内容的深度还是广度都堪称数院之最，如果不愿意投入时间很可能完全跟不上，他作业里很多内容其实都是很多教材的正文内容，像Killing Field，Riemannian Geometry on Lie Group，Convex Function，Holonomy Group等重要内容都被作为作业题布置。

正文内容可以说干脆利落，直接被分为五大部分。黎曼流形上的结构，黎曼张量的代数理论，测地线及其衍生的工具（变分公式与Jacobi场，指数映射与测地坐标系，割点与割迹，指标形式），曲率与拓扑关系（这部分定理都是黎曼几何早期的重要结果），大概这些定理分为这么几类：曲率控制拓扑（Cartan—Hadamard，Bonnet—Myer，Synge，Preissman），比较定理（Rauch，Hessian，Laplacian，Toponogov，Bishop—Gromov），Sphere Theorem，最后一部分内容就是整门课的高潮：Hodge Theory and Bochner tech。我记得我去年年底看完Hodge Theory之后被其结论深深震撼，直接下定决心去找王老师做有关Hodge Theory的大研，k次调和形式构成的群同构于de rham上同调群进而同构于k次R系数奇异上同调群，这实在是非常令人惊叹的，被认为是划时代的定理，而从中发展的Bochner tech则是几何分析的起点，给出了Ricci曲率张量和Laplace算子的关系，那么椭圆方程的理论也就成了必要的。这两个理论虽然在这门课介绍只是蜻蜓点水，但毫无疑问这是最漂亮的结果。

相对于刘老师强调几何直观的娓娓道来和细致的讲解，王老师的课显得“不近人情”，想要学到东西必须刻苦付出，这个讲义没有太多细节，大量很困难的内容都需要自己验证，作业难度也是很大，就连纯粹的计算题也是非常重要的例子，比如说去计算广义相对论中大名鼎鼎的史瓦西度量的Ricci分量，整整算了我大半天的时间。

最后吐槽一下两位老师的记号是完全相反的，导致我切换记号的时候造成了一定麻烦。。。其实这是黎曼几何这个学科的通病。建议最好是完整的看完一本书再去看别的书。。。否则真的适应不了

几何素养大大大大提升，唯一的遗憾就是谱理论刚开始就结束了。讲句题外话感觉一两门几何课的广度对于理论物理是不太够，可惜火老师最近有编写教材任务需要反复教一些课，不过上完火老师的课之后自己看资料的速度提高了3-5倍，小论文写了个Ambrose Singer对规范场论也有很大帮助。附带无意拍下的可爱僵尸步火哥。

深夜写关于cut locus的作业破防的时候搜到了Thurston写的答案，顿时又有了动力。https://mathoverflow.net/questions/62025/an-elementary-question-about-the-cut-locus/62032#62032

此答案最后编辑于2011年4月17日，距离他的死亡还有491天。

前一年春天选过刘世平老师的，但本人当时没学过流形，连切空间，张量是什么东西都搞不懂，期中考了好像20分怕挂科就赶紧用最后一次机会退了课。🚀的学完想起当时那位老师教的确实没啥问题，甚至节奏会比🚀慢许多，因为🚀默认大伙都会流形，但刘的课还大概讲了下坐标卡和单位分解等基础知识，还是本人太菜了。🚀的黎曼几何作业相比微分流形其实少多了（质量差一点）（逃）（但刘那边完全没作业，一方面没平时分，期中30想不挂期末怕不是得90；另一方面当时课下花的精力也不够，我记得期中复习时突然发现自己连联络是啥都不知道[当然根本原因还是没学过流形，连切空间都不懂]）。感觉最后几节课讲的一堆比较定理没咋搞懂，可能没布置作业就没进一步思考了吧，也说明完成🚀的作业是很重要的，不仅是对课上内容的进一步理解，还会包含很多上课没讲的重要知识点。感觉最后一学期也摆多了，可能花的精力比流形那边少，但应该比当时同学期选的另一门课多（某math6开头的分析课，只大概过了下抄的笔记，主要是讲义，但质量远不如🚀的[但好像确实没见过讲义质量高于🚀的，都得自己看点书]，而没去看教材，好像是249和250，但考试全从这里偷题出，结果好像只会做一道题，喜提66。稍微吐槽下，就不去那边打低分了）。

感觉偏题了，但🚀的水平是毋庸置疑的。犹记每节课下课时大伙都会鼓掌，貌似这种场面也是只在🚀这见过，可见大伙都很服他的。