4.14第一次小测，没想到除了背定理还得背习题，😭😭😭

4.19追更：小测出分76，均分50左右，感觉是没给什么同情分，因为大概已经做了80分的题，考得定理基本默写了七七八八，之后考试前估计还得背背作业题。

4.21追更：悲报，查卷发现第一题系数算错扣了8分。此外76 rank23/88。

6.12追更：第二次小测94，rank22/80，均分70左右，这次感觉改卷特别松，按正常改我应该80左右，不出意外是受老麻指示改卷放洪水了。题目和往年题非常接近，背背书，背背作业题，看看往年题应该就大差不差了。

6.28追更：麻方程，你该死啊！这两天复习快12个小时抛物和双曲方程，今天三点睡觉六点起，看到卷子的时候心都凉透了。全TM是第一部分的内容，已经忘得差不多了，可以安详地去了。不是，为什么一道数值计算没有啊，能不能送点分啊👿就惦记你那第一题的符号计算，不是戈门，你考过了一次还考啊？这下似的透透的了。我这辈子就是饿死，也不会再碰pde了。永别了，牢笼👿昨天和lyq老师聊天的时候还听他吐槽，当年跟老麻学麻方程直接斩断了学pde的念想。

7.2追更：期末出分86，rank21/80，怎么感觉我发挥异常稳定（bushi），等一手总评（虽然GPA对我好像已经没用了）

7.3追更：喜报，第四题助教忘记改了，加了5分，确实是意外之喜。

7.15追更：出分了，92，分数仅供参考，个人感觉还算奶。但是我还是要说，选择麻方程，只能度过一个相对失败的人生。如果这课不是恁仏必修，我是断然不会上的。

一些杂谈：

从一个纯初学者的角度讲，如果这学期恰好还选了黎曼几何，那麻方程这门课（即使是比较枯燥的经典估计的部分）确实会有点意思。比如说课程内容有热方程的 Harnack 不等式，利用同样的方法可以解决黎曼几何热方程的 Harnack 不等式，因为曲率项在这里并不是一个本质困难项。

还有一些类似的问题我比较好奇（但我还不知道）：

• 麻曾经提过用活动标架法可以丝滑地解决作业 1 的最后一题（一个与极小曲面有关的方程），一直想知道到底是怎么算的。
• Laplace u + u^p ＝ 0 在 p＝(n+2)/(n-2)＝α 时是一个与 Yamabe 问题有关的方程，课程内容证明了 p＜α 时该方程在欧氏空间上没有恒正解，其中的不平凡部分是通过方程推出的一些恒等式，这些恒等式里似乎出现了一些 2-tensor，它们跟黎曼几何的 traceless Ricci 是否有关系，可不可以用黎曼几何的语言把公式推得更简洁直观？

以上只是记录了学习这门课时的个人思考，可能跟 PDE 课程本身并没有什么关系。

以下是评课部分：

如果讲课时能相对注重一下对于概念和记号的解释就好了呀～ 

• e.g. 在讲 Caffarelli-Freidman 定理的时候出现的神奇波浪线记号【对于函数 f，称 f～0 near p，若存在有界函数 C1，C2 (defined on a neighbour U of p)，使得 |f| ≤ C1 * |Grad (phi)| + C2 * |phi|  (in U)，其中 phi 是之前确定的某个辅助函数】这个记号的性质比较容易验证，定义它的动机则是简化计算，同时也不破坏极大值原理的条件，这些虽然都比较好理解，但感觉如果不强调一下的话还是会使人摸不着头脑。
• e.g. 含时 Sobolev 空间中，对时间的弱导数的定义，讲抛物方程的时候一开始似乎没有提这个，导致我听课时只能形式上地去理解 u' + Lu＝f 这个方程…… 
• e.g. 在 Fredholm 二择一等部分，证明中其实频繁地使用了以下结论（参考 evans）：H_0^1 ⊂ L^2 ⊂ H^{-1}，但是 evans 里这个 ⊂ 的含义也没有说清楚……其实，第一个 ⊂ 就是包含映射 i: H_0^1 → L^2（因为 H_0^1 中的函数肯定也在 L^2 里），然后根据紧性定理，i 是紧算子；对于第二个 ⊂，H^{-1} 就是 H_0^1 的对偶空间，而 ⊂ 其实就是 i 的对偶（这里用 Riesz 表示定理将 L^2 和 (L^2)* 自然等同了）。理解了上述两点后，诸如 Laplace 的逆算子 K: L^2 → L^2 的定义就很自然了：其就是由 L^2 ⊂ H^{-1} → H_0^1 ⊂ L^2 复合起来的，而中间那个 H^{-1} → H_0^1 其实才是 Laplace 算子的逆，然后根据最后一个包含映射的紧性，K 是紧算子。（当然这块 evans 也没有讲，可能是他觉得太细节了，可能只要比较熟悉泛函分析的话能够迅速补全吧）

老麻说这门课里没有理论，只有计算，这门课就是做一些计算题，实际上也确实如此。这种模式有好有坏吧，坏处自然是许多概念和定义只能自行去理解或者查阅 evans（但没准促使自己多看看书也有好处？）好处或许就是更多精力放在一些本质困难的观察和计算中吧。老麻经常说，“自己算过了，就不怕了”。对于这门课的学习，还是要勤算一算，往往就是越算越有底气，越能够胆大心细地处理一些新的问题。

关于考试：

今年老师似乎比较重视习题课，考试内容也出现了一些习题内容，以及一点习题课讲的拓展内容。习题课基本上是一周一次，有讲义。

课是好课，麻给教毁了。

一门基础课，起码应该把各个方向的基本内容涉及到，麻非要夹带他那一堆没品的椭圆私货，再就是花一堆时间讲线椭还会讲的内容，给人的感觉是他除了算极大值原理和moser迭代以外p都不会。麻的品味堪忧，他讲的不少内容除了他自己那个方向以外p用没有。

看到很多人因为麻方程对PDE产生恐惧抵触情绪，这是麻的问题，不是PDE的问题，我们PDEer不背这个锅。

麻希南老师的这门课先讲椭圆方程的经典理论（参考书推荐韩青林芳华的椭圆方程），老麻在这部分会反复强调我们要用两个东西，一个是构造辅助函数，一个是用散度定理。最主要的内容就是研究椭圆方程的足够光滑解的各种估计，往往是从调和函数开始一直推广到最一般的一致椭圆方程。课上和作业里有时还会涉及一些与几何有关的方程估计，感觉也挺有意思。就是各种估计时要用的辅助函数、积分时要乘哪些项确实纷繁复杂，临考前一定记得全部背下来。

后面基本就完全按照Evans来了，讲Sobolev空间、椭圆方程的弱解理论（弱解的存在性、解的正则性估计，Fredholm二择、椭圆算子的特征值，此外还会在讲弱解的有界估计时讲moser迭代，这部分Evans没有，也可以参考韩林的书）最后是线性发展型方程的理论（分抛物、双曲来讲，像Galerkin逼近、能量估计、正则性估计算是两类方程的共用技巧，此外抛物方程会讲Harnack不等式，双曲方程则讲有限传播速度）。

其实综合来看内容并不算很多，但由于很多估计手法比较暴力，对初接触PDE的同学来说也算是不小的一个坎。记好笔记是必须的（即使有之前学长整理的麻方程讲义PDF，但这种课自己记下手推一遍和直接拿别人的东西来读效果是完全不一样的），考试前把笔记通背一遍则可万事大吉。

一学期一共两次小测一次期末，按助教学期初的说法是334给分，最后再加上作业分十分。麻方程有特殊的麻补考，如果某次考试（满分120分）没考到60的话可以重新参加一次补考，补考内容和原考试内容相差不大，算是非常友好的规定。

给分相当不错，应该有不少被捞到3.7 4.0的，不过4.3或许不是很多（我最后总评是96，按老麻的说法是在班级的前几名，或许是对4.3的要求比较严格一些）。另外很推荐大家跟麻老师交流交流，无论是课程内容，还是你的保研出国意向。麻老师非常的热情，也会非常青睐这门课成绩优秀的学生。

课程内容

本课程是大二的微分方程引论的后续进阶课程，主要内容是：

1. 二阶椭圆方程的极大值原理
2. 二阶椭圆方程的梯度估计，梯度内估计，边界梯度估计以及对数梯度估计
3. 分部积分和格林函数
4. Sobolev空间和Sobolev不等式以及紧性定理
5. 二阶椭圆方程解的存在性，正则性以及Fredholm二择一
6. 二阶椭圆方程的特征值问题
7. 抛物方程的梯度估计，极大值原理和Harnack不等式
8. 抛物方程解的存在性和正则性
9. 双曲方程解的存在性，有限传播速度

其中1,2,3是第一次测试内容，4,5,6是第二次测试内容，1-9是第三次测试内容。1,2的计算内容很史，但是或许是不得不品鉴的一环。这一章在学的时候一定一定要动手算，自己算和看别人算感觉是不一样的。1,2虽然可能是老麻的私货，但是却不止在他的方向上有用，我最近在学习Hamilton-Jacobi方程时就看到了类似的方法。其中1,2的参考书是林芳华的二阶椭圆方程，与后面几章参考的Evans不是同一本书，不要像我一样在上前两部分的时候还在Evans上找。但是1,2这部分内容上的太多了，导致双曲方程讲的太急，并且直接跳过了带时间的Sobolev空间。这部分要自己读一读Evans，不然会有很大的gap。我看了往年的微分方程2的卷子，里面是有讲算子半群理论的，但是老麻把太多时间花在逐点估计上了，这部分就根本没讲了。值得一提的是老麻板书写的是真乱，喜欢把每块黑板分成两块写，然后到时候擦的时候只擦一半，新的和旧的混在一起，真看不懂哪个是新写的哪个是旧的。

这个链接里的笔记除了一阶pde的部分都是本课程的内容，可以进行参考 pde

关于作业

第一部分的作业一坨，一个个题目难得批爆，我还真不信有人能独立完成了。后两部分大部分的题来自Evans，就显得正常多了。里面很难的作业大部分都是老麻的私货，各个难算得要死。不过我交的是电子版作业，虽然空了一堆计算题但是助教也没说啥，等助教把答案发了抄一遍答案基本就会了。

关于考试

奇葩课程考试考三次，这感觉真没必要吧。而且每次考试考两个半小时以上，满分120分，真四人了。每次考试前把往年题做（默写）一遍，基本上都会算了。第三次测试里一半左右的时间都在算第一部分的内容，我真的佛了。如果需要22和23年试卷答案的可以按照上面的链接找我。

关于给分

本人第一次测试107，第二次测试107，第三次测试111，总评100，不知道会不会出现三次全在100以上结果总评被下调到没有100的情况。既然pksq没有人来骂，那么可以估计老麻这次给分是正常的，不过拿这课来赚GPA疑似有点累了。

老麻一上来并没有直接讲Sobolev空间，而是先讲的光滑情形的椭圆方程和调和函数（第一节课一上来讲对数梯度估计属实难顶），这里可以参考林芳华的书。 随后按照Evans来讲，第五六七章，以及moser迭代。实际上可以直接看老麻自己的讲义，就算如此，建议上课记笔记，尤其是细节要记下来，否则下课看讲义真的看不懂。

这门课十分耗时间，内容也很丰富，肯投入时间去背去算，成绩一般不会很差。

其次，我在学期中也和老麻聊过几次，老麻对学生很好，有任何问题都可以直接发邮件问。推荐选。