代数几何初步(张磊) 2021秋 2020秋  课程号:MATH5016P01
2021秋 2020秋  课程号:MATH5016P01
9.0(3人评价)
  • 课程难度:中等
  • 作业多少:很少
  • 给分好坏:超好
  • 收获大小:很多
选课类别:基础 教学类型:理论课
课程类别:研究生课程 开课单位:数学科学学院
课程层次:本研贯通 学分:4
课程主页:暂无(如果你知道,劳烦告诉我们!)
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想了想还是打9分吧,不至于因为不太习惯Fulton再减一分。

(一般这门课叫做代数几何引论/代数几何I/代数几何初步...anyway,内容都是古典代数几何。反正科大一般都是第一学期讲variety,第二学期讲scheme和cohomology,除非遇到有要做毕业论文的学生急着学p-adic。)

教材/主要参考书:William Fulton的Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry。可以在Fulton本人主页上下载:http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton

这学期是张老师第二次教古典代数几何(去年上这门课的时候用的是沙法列维奇的Basic Algebraic I,据说是没讲完)。今年的课程内容是按着书上的顺序安排的,从最基本的定义一路讲到曲线上的除子和Riemann-Roch定理。不过,听课时完全可以感觉到老师完全不是照搬课本,而是把课本作为guideline来讲授这门课的内容。同时,课堂上老师会给出不少解释,使一些东西不是那么的抽象,也使一些抽象变得更容易让人理解(make sense)。感觉张老师这门课讲课时还是挺卖力的。下课时以及课外对于我们提出的问题也是很热心的帮我们解答。

与Fulton一样,张老师并没有假设我们有交换代数的知识,可以说前置知识仅为线性代数和近世代数(不过要是熟悉交换代数的一些结论会对学习有很大帮助)。不过这也导致了处理一些问题时工具不够,大致体现为两点:1.很多问题只能处理代数曲线的情况,推广会变得十分麻烦;2.不少定理的证明会陷入谜之计算(尽管使用交换代数有时只是把它们“打包”了)。同时,Zariski拓扑在这门课中引入很晚(Fulton正文共111页,第68页才给出Zariski拓扑的定义),如果初学,有可能就会迷失在前五章的计算中,相比于Hartshorne,少了些许几何的感觉,这也是我不太习惯Fulton这本书的原因之一。不过网上也有不少人推荐这本书,大概就是见仁见智了吧。

下面是一些个人建议。这个学期的古典代数几何没有要求交换代数,实际上为了更好的理解这门课程的内容,我认为还是熟悉一些交换代数的结论比较好,大致是Atiyah&McDonald的前三章(代数几何II肯定还需要更多)以及记住零点定理等一些重要定理的结论(比如还有诺特环的基本性质,Hilbert基定理,etc)。事实上,Hartshorne的第一节在熟悉这些结论时,只需要假设他给出的所有代数结论便可以直接阅读,习题中需要的直接去查书即可,关键是要get代数几何的感觉。除了教材之外,建议刷一下Hartshorne的第一章,细节check清楚,题目能做就尽量做。关键是多想想,搞明白动机和技术。由于我在这一方面看的书不是太多,主要只是刷了Hartshorne的正文和习题,故只能罗列一些我查过的书(大部分只是查一些证明或者结论,没专门读过):沙法列维奇1,GTM133,LNM1358(Mumford的红宝书)。交换代数除了Atiyah&McDonald也可以查Matsumura的Commutative Ring Theory。另外,多学些scheme之类的可以加深理解,如另一位同学提到的“射影空间去掉一个超曲面后得到仿射开集”其实就是一个D+(f)。

作业不是很多,而且最后只要按时交且交全就是满分,不过差个几天也没事,只要别拖太久。期中考试take home,5道题,11月20日晚上发的卷子,11月25日晚上上课时交。期末考试2h15min,6道题,个人认为至少有80分都是基础内容,而且评分看起来还是比较松的。总评还没出,据说是平时20期中20期末60然后调一下分。出了再更(

期中88期末85平时分给满,总评90,感谢老师捞我。

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不想复习了,来随便写点

今年这门课用的是Fulton的Algebraic Curves这本入门教材,课上的内容基本也约等于这本书的全部内容。张老师讲课很好,绝不(像许多其他老师一样)照抄课本,而是用自己的理解来组织命题的先后顺序和证明方法。教材前六章阅读体验还不错,而最后几章关于blow up和Riemann-Roch的讲解则给我感觉讲的比较繁琐...可能是我第一遍自己读的时候没有花时间读,后来也懒得再去仔细看吧,老师确实也是讲这几章内容时更加不依赖于课本,把事情讲得很清楚。美中不足的是这本书不假设读者有多少交换代数基础,从而老师上课也使用比较初等的代数方法,这就导致有些如果用一些交换代数结论看比较显然的命题需要一个冗长的证明(几乎是将交换代数的结论证明一遍),让我有些难抓住重点,一走神就可能跟不上。我个人觉得或许不必要在这本书上花太多时间,Hartshorne第一章是更好的选择。

曾经一度认为没必要在古典的东西(例如这门课中对于簇乘积的定义)上花太多时间,因此听课和课后都没太认真,后来快接近期末复习的时候认真看了一下Fulton和Hartshorne第一章才发现有好多小结论和例子都完全不知道(或是没有自己想过证明),而这些小结论对于理解这门学科中的几何对象和处理手法是重要的。例如射影空间去掉一个超曲面后得到仿射开集,到射影空间的态射可以延拓,任意两条射影曲线同胚,射影簇的正则函数是常数,P^2和P^1\timesP^1不同构但双有理等价(这个还考到了,虽然不难)等等。

作业是Fulton上的一些练习题,不多,大部分也不难,最后两章是张老师自己出的小问题。期中考试是带回去自己做,有三四天时间,总体也不太难。期末有个小问考了曲线在一个点光滑(定义为局部环是DVR)等价于Jacobian矩阵秩最高。复习没看这个完全记不得,考场上感觉没思路也没花什么时间想。最后一道题给了五次Fermat曲线考一些关于Riemann-Roch和除子线性系的计算,有俩小问不会。

总体来说体验还是很好的,zl老师人很好每次下课都会和我们答疑聊天好久,希望下次还能上他的课/讨论班

去老师办公室看了改完的试卷来更一下,总体和预期差不多,一个五分的小题错的挺可惜的...不知道考试的时候哪来的自信写的满纸荒唐言.....

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阿诺尔德的猫那个Jacobian是Hartshorne Chap I的Thm5.1的特殊情况(不过我想着这课讲局部性质时都在曲线上就没复习这个...)。而且Hartshorne还把很多重要东西塞到习题里面了,不少东西还是需要练一练的。
评课社区猎码人我看过那里,但当时没理解那个证明导致完全不记得了....回复 @阿诺尔德的猫:

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氢氟酸 2020秋

张磊老师是好人,给分不错,我就被捞了。

老师上课讲课也很不错,并不完全按照fulton来讲,有的证明挺好玩的。

Fulton的blow up那一章写的看不懂,大家复习这一块的时候就别看Fulton了,,,

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张磊

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