赵老师看上去就很喜庆的样子。。。嗯赵老师讲课思路还是很清晰的，大部分时候是脱稿教课的。对实分析的几块理论，不仅是对理论体系本身给出证明，而且还讲述了如何去理 解这些理论之间的关系，如何去刻画这些理论。实分析的教材(Stein那本)也是本好书，建议有时间的话把所有exercises做完。

赵老师出题有一定难度，虽然也不是很难。好好学的话，90分应该问题不大。

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OK. 看到2020年春季的评论，我有必要补充一些话。当然这是出于我个人的感情：赵立丰是我的恩师，他教过我五门专业课，也是我的大研和毕设导师。根据我多年来的经验，赵老师是不会上评课社区的，所以各位写了什么东西估计他也不知道吧（笑）。

一、.2020年春季的考卷。

这张试卷我不知道是不是赵老师出的（从字体来看应该是，郭经纬老师出题的试卷字体是“仿宋”），以往正常年份赵老师出题都是偏难的（见15春季期中，只有30分原题，全班138人有接近100人卷面不及格，而且改卷还放水）。根据我对助教的了解（我都认识），列文虎克式改卷不存在，我们组从来没有过判卷死扣细节的人。

考虑到2020疫情原因，卷子非常简单，简单到离谱。前60分四题选3题，都是书上作业题。最后三题第二题也是送分题，可以视作第一章某题的一维版本的反面。也就是说，整张试卷有75分的送分题。

剩下两道题。最后一题在周民强的解题指南上有一般的版本，考试卷子出的是极限为0的情况自然简单不少，因为可以Fatou+萝卜干微分定理直接做出来。第五题的传统做法是Egorov定理+Holder不等式，但实际上如果我们利用有界区域上a.e.蕴含以测度收敛，做一个类似的截断也可以做出来，这个如果认真学过概率论里面随机变量收敛性的同学应该不难想到。

这张试卷如果作为“送分试卷”，那“送分”的确已经送到家了。75分原题，剩下的混点分数考个80分并不困难。如果作为正常试卷，那么知识点的覆盖方面自然不足：控制收敛定理没有考、萝卜干测度的Borel正则性没有考（等测包）、BV函数的性质也没有考，康托集、不可测集等等复杂性质更没有考。当然，考这些的代价是难度大幅上升，大家可以回顾一下Stein的习题1.29-36，2.12，3.16-3.21几个题目的难度。

另外，据我所知期末考试平均分就有70多分，卷面优秀率就到了教务处的限制。作业题做不出来还想拿80多分好像有点过分了。

二、实分析试卷的命制。

翻看往年的实分析试卷，我们都能看到有一半以上都是作业原题，加上一两个比较难的题。这是因为实分析这门课的特点决定了考试成绩一定是两极分化——你一旦理解了知识框架，那做实分析题目是一通百通；你如果一直蒙在萝卜干的鼓里，那“记忆作业题”可能都是一件很艰难的事情。这必然导致了大家遇到新题目会出现严重的两极分化——要么满分要么零分。有时候你以为你写了沾边的东西，其实都是没用的废话。

我的主页上很遗憾没有搜集到2017年春季实分析H的期末考试题，但我对题目还略有印象，全卷几乎没有原题，第二还是第三简单的题目是周民强小字部分的带余项的Fatou定理的应用（你还别说这玩意在搞研究的时候处理半线性估计真的有用…），即便是华罗庚班的同学也难以及格，80分就全班第一了。

因此，实分析试卷的命制必须用大量作业题或者简单题将大家先送到及格线以上，再让大家在剩下的40分或是更少分数里面两极分化。这一点，当过助教的同学就深有体会。

三、 实变函数的知识框架

几乎所有的同学在刚学实变函数的时候都有一个问题：这门课怎么学？

几乎所有的同学在复习实变函数的时候都有一个问题：这门课怎么考？

这就要从梳理实变函数的知识框架开始。本科实变函数课程讲述的主要是萝卜干测度与积分理论，最后会讲抽象测度理论（给今年讲了符号测度点个赞）。当然，抽象测度理论的模型基本和萝卜干测度一样，只不过失去了R^n的各种度量性质。

（〇）动机

任广斌老师曾经说过“分析是极限的艺术”，其核心要义，就是用一列“好函数”，在“某种意义下”逼近某个“坏函数”，并尽可能多地让坏函数“继承”好函数的性质。数学分析里面，我们最终引入了“一致收敛”，来完成这件事情。但请回忆：一致收敛严格强于逐点收敛。做一致收敛的过程，对函数的逐点行为要求太高！对那些很粗糙的函数，例如Lp可积函数，根本无法探讨逐点行为——早在数学分析A1里面的萝卜干可积性定理就告诉我们，修改可积函数在零测集上的行为不影响其积分值。因此，数学分析的工具难以研究可积函数类（及其衍生物Sobolev函数类），必须寻求新的工具。

萝卜干测度与积分理论就解决了这个问题。既然我们无法做到“点点”逼近，那我们就想办法让那些无法逼近的“坏点”充分少——把它们并起来，这个集合的“大小”任意小，甚至是0，以寻求妥协。那如果刻画“大小”呢？答案就是萝卜干测度。

（一）萝卜干测度的可列可加性与Borel正则性

Stein书上测度的定义从方体出发，到开集，到Borel集，再到一般的可测集，这个定义的过程比较符合认知。很多同学会有一个疑问：为什么需要可列可加性？

一方面，从逼近定理的证明里面可以看到，我们往往会用ε/2^n的技巧，使得可数次操作的误差仍然任意小。另一方面，我们回到那个核心问题：“f_n(x)→f(x)”. 我们需要找出“f_n(x)→f(x)”不成立的点有哪些，再证明其"测度"任意小。那么，根据16H班期中第一题，就有

可以看见，我们要研究的这个“发散点集”，正是一个“不收敛集”的可列交/并（图上对m,n取并应该是从N+1开始，打错了）。若萝卜干测度对可列操作不封闭，那我们还要引进它来处理可积函数作甚？

同时，我们注意到上面这个集合是∪limsup_m,n E_m,n(1/k). 也就是说：发散点集=“不收敛集”的上极限，发散点集零测就=“不收敛集”上极限零测，而上极限零测的证明方法，即为第一章的16题Borel-Cantelli引理：证明集合测度之和是有限的。因此，从这个例子我们知道，证明a.e.收敛的唯一办法即是Borel-Cantelli引理。典型例题是15年期中考试第4题。

第二个疑问：可测集如何刻画？

“可测”绝对不止Caratheodory判定准则这么简单——因为这个等式只告诉你在测度计算上的性质，并不能告诉你集合的结构。这个问题的答案是：可测集=G_δ集挖一个零测集=F_σ集并一个零测集。进一步，任一集合E（有可能不可测），都能找到一个包含E的可测集G，使得m*(E)=m(G)，即等测包，也称作萝卜干测度的Borel外正则性——任一集合可从外部被一个Borel集逼近。具体例子，对应第一章的问题5，还有第三章的第20题第3问。

课本上的康托集、不可测集，则成为了各种实例和反例构造的来源。同学们应该熟练掌握Stein第一章相关习题里面涉及到的性质。

（二）可测函数收敛性——萝卜干积分的构造

1. Egorov定理与Lusin定理：分别阐述了a.e.收敛与一致收敛的关系（比较实分析里面的垃圾收敛，和数学分析里面的一致收敛，有什么区别），以及与连续函数的关系（比较一下垃圾函数和连续函数的区别）

2. 积分收敛定理

为什么要引进积分收敛定理？很简单，因为构造一般可测函数的萝卜干积分时就要用到！

怎么应用积分收敛定理？优先考虑单调收敛定理和控制收敛定理，其次考虑Fatou引理/广义控制收敛定理，如果以上方法全都不灵，则考虑Egorov定理。如果以上方法仍有问题，则85%概率以上是这道题目自己有问题。

为什么是这个顺序？因为Egorov定理结论最强：可以做到一致收敛，从而无条件交换lim和积分号。其次，DCT, 广义DCT都是Fatou引理的直接推论，当然是先上儿子再上老子。

如何选取合适的定理？有控制函数的，用DCT；无控制函数但有范数收敛的（例如fn的Lp范数收敛到f的Lp范数），用Fatou；仅有积分上界无收敛性的，考虑Egorov定理。什么都没有的，这题85%以上概率是错题。

（三）富比尼定理

请自动跳转抽象测度的实例——乘积测度的构造及其完备化（即，使得所有零测集都是乘积可测的，例如N×{0}, N是书上那个不可测集，这个乘积集不在乘积西格玛代数里面，但仍然乘积外测度为0，因此要对乘积西格玛代数完备化，让全体外测度为0的集合可测且0测）。

（四）Lp空间

这部分请记住

1. 涉及到Lp指标变换的，必定使用Holder不等式

2. 为什么积分Minkowski不等式叫“广义Minkowski不等式”？（把外面那层积分的测度改成Z上的计数测度套进去）

3. Lp函数的逼近（简单函数、紧支连续函数）

4. Lp范数的等价表达（对偶表示、分布函数表示，后者在p=1的时候阐释了“萝卜干积分是竖着往上求和”，自己想一想为什么这么说？）

（五）函数的微分

我假设大家都没学过符号测度，否则请直接跳转Folland第三章。

这一部分的核心问题很简单：数学分析里面的牛顿莱布尼茨龚诗，即微积分基本定理，何时成立？是否具有充分必要条件？

在给出这个问题的答案之前，我们需要明确：

1. 不定积分的微分有什么性质？萝卜干微分定理给出了答案，Hardy-Littlewood极大函数给出了证明。学这部分的时候，请问自己一个问题：H-L极大函数起到了什么过渡作用？（给出点态上界，自身又Lp/弱L1有界，这是极大函数才能做到的事情）

2. 由于积分和微分的线性，我们只需研究非负函数。那么非负函数的不定积分是一个单调函数，从而有了讨论单调函数（以及其线性组合 BV函数）的动机。

3. 至此，我们已经知道，不定积分的微分a.e.=被积函数本身，那两边积分回去，牛顿莱布尼茨龚诗是否成立呢？这就是绝对连续函数被引进的原因——因为我们可以证明，阻碍牛顿莱布尼茨龚诗成立的唯一奇异性，就是那种“导数a.e.为0，但并不为常数的函数（康托萝卜干函数）”——而绝对连续函数恰恰是BV函数抹去这种奇异性之后剩下的函数全体。这个定理在周民强上可以找到。从而核心问题就得到了解决。萝卜干测度与积分理论的框架基本搭建完成。

四、实变函数的学习建议。

各位可以参考我的屑乎回答 https://www.zhihu.com/question/21712683/answer/191186945

1. 教材与参考书

教材使用Stein+周民强足够。在学习可测函数收敛性、积分收敛定理、以及后面太阳升引理那一块建议参考周民强的书。Lp空间可以看Folland第六章或者周民强第六章。另外，胡适耕的实变函数与泛函分析有一本答案书，里面有一些技巧的总结，这本书大家可能很少了解到。

Stein的教材写得非常好，但远远没有到达“实分析圣经”的地步——它在我上面提到的部分写得很残缺，甚至没有这方面的内容。周民强更适合作为练习题、找例子、找定理的来源，复习的时候可以仔细读一读周民强的书而不是Stein的书。另外，建议备一本汪林《实分析中的反例》来查询一些奇怪的命题是不是成立。

2. 作业

请务必认真自己写作业，考前请务必认真背诵布置过的作业题。有时间建议完成Stein后面绝大多数的练习题。做作业的时候，请不要看答案，实在想不出来再去看。用自己的话去写，再对照答案，想想自己的证明哪里崩了，答案为什么要那样做？

3. 复习

考前复习的时候，请

（1）梳理知识框架

（2）尽可能填补上面提到的知识框架里面的细节，而不是按书上的定理编号一个一个背过去，否则你很难去理解这些定理的动机与证明的关键技巧。

（3）回顾某些作业题，这个作业题告诉了我们什么东西？它在定理证明里面用在哪了？

（4）做往年考题，我主页上有。做题的时候请务必用手拿着笔在纸上写下你的所有过程。很多时候“你觉得能行”的地方往往是这道题最难的地方。

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很多同学都觉得自己“差不多对了”，“差不多理解了”，结果就考一点点分。

说这句话之前，请问一下自己，你真的能叙述出这个知识框架吗？

如果能，你真的能填补出这个知识框架吗？

如果能，你真的能用笔写下来你是如何填补的吗？

这就是70分以下、84分、94分和100分以上的区别。

所谓“实变函数学十遍”——“硬分析”不在于你短时间内快速接触了多少新的概念与想法，它所需要的更多是需要长时间的积累，千锤百炼，才能慢慢在你的脑子里形成“条件反射”一般的思维。同学们不要因为题目很难就感到和灰心丧气：几乎所有人在第一遍学时都不可能熟练掌握。如果真的能把这些认真学下来，那么这门课的第一名就是你！