想起来忘了上传讲义了，补一下（虽然已经有热心的同学发过了www）

微分几何习题课讲义.pdf

相比去年的讲义，主要补充了四五章的东西，比如 (1) 计算常曲率曲面\(\mathbb R^2,\mathbb S^2,\mathbb H\)上的等距变换、测地线等(二维的Space form，是黎曼几何里最基本的例子）(2) 更多测地线、等距变换的计算，尤其系统地讲了一下怎么用共形变换去算 (3) 把上学期一些补充内容补完了细节，放到习题里去讲(虽然是补充内容，但实际都算是微分几何的优质练习题) 并且从陈维桓老师的书上补充了一点计算题。这份讲义相比古典微分几何这门课而言，体量还是比较大的，参考时更重要的是领会如何“有条理”地进行古典微分几何的计算。

续费了24秋助教，到时候会写一份更系统的习题课讲义，放在一个PDF里。

2023秋助教，为了不影响整体评课给个平均分。

（一）关于课程 ：微分几何是大部分数院同学的必修课，从相对功利的角度来说，科大的保研夏令营中微分几何是必考科目，对于计划保研的同学来说肯定是要跨过的一道坎；用更发展的眼光来看的话，这门课可以说是新的一门“几何学基础”，一定程度上为深层次的黎曼几何铺平了道路。当然，除却基础方向的同学以外的大部分同学也许并不会继续学习更进一步的几何理论，所以下面都是仅关于这门课本身的学习建议，非常亲民喵（当然，因为我对其他方向的见识很有限，不能介绍微分几何在各个方向的具体应用，这方面的内容更推荐向本方向的权威学长学姐们请教）

（1） 【课程主线的简介】 在期中以前，这门课有一条重要的主线，就是刻画曲线与曲面的弯曲。在这期间会引入了很多很多几何概念，初学者很容易陷入到这些概念和繁杂的计算中。所以说“微分为法，几何为本”，建立几何直观和思考几何内涵是很重要的。对于前者，课本和讲义上已经提供了很多很多具体的例子，但我依然推荐同学们去看一看刘世平老师的讲义里的手绘图，或者自己动手用软件画一画具体的曲面/曲线图像。学习这些几何图像时，可以去关注：曲线的曲率和挠率，或者曲面的高斯曲率和平均曲率如何对应到具体图像上的几何特征？如何体现了弯曲？在关注这些问题的时候，就自然而然地过渡到了后者，也就是思考几何内涵。例如，高斯曲率和平均曲率体现的弯曲有什么不一样？这里有一个很经典的例子，就是平面上的一张纸卷曲成一个圆柱面。算一算可以发现，高斯曲率在这个过程中是不变的，但平均曲率却不再是零。换句话说，高斯曲率体现的弯曲与曲面如何“嵌入”到外部空间无关，但平均曲率则是相反的。这两者就直接对应了这门课最重要的几何观念：内蕴和外蕴。

事实上，期中以后的内容就是分别讨论内蕴和外蕴。为了能像研究曲线那样研究曲面，我们搬出了标架这一重要的工具。在活动标架下，重要的结果是导出了曲面的内蕴结构（Gauss方程，Gauss绝妙定理），以及外蕴结构（Codazzi方程）。并且，给定两个具有内蕴结构和外蕴结构的二阶张量，也就是满足Gauss和Codazzi，就可以唯一确定曲面（相差一个刚体变换），这就是曲面论基本定理了。学到这，同学们早已对着活动标架下恐怖的计算量望洋兴叹了，于是我们贴心地引入了下一个工具，那就是依Frenet标架画“正交标架”。在这一部分，我们使用了大量的外微分工具，并且把Gauss和Codazzi方程都化简为了非常简单的形式，这无疑降低了实际计算的难度。并且，在处理更进一步的微分几何问题时，正交标架和曲面上诸微分形式依然是强有力的工具。

最后一章是内蕴微分几何的专题，这部分其实就是在介绍R3内二维曲面上的黎曼几何。核心的几何概念是介绍了内蕴意义下的等价（等距变换），引入了协变微分（对应黎曼几何里的联络），推广得到了曲面上的平行移动（协变导数的几何意义），并且定义了测地曲率和测地线。测地线是一个相当重要的几何对象，不过这门课里对它的引入并不太几何。事实上，在黎曼几何课里会学到，测地线的几何定义是源于对曲线能量泛函极小元的讨论，根据变分学中的Euler- Lagrange方程我们得到了它的定义式。这也对应了测地线最重要的几何性质：局部最短性。这里又引出了一个小支线，就是利用测地线给出曲面上的各种坐标系，这些坐标系下的计算会非常方便，并且本身也蕴含着几何意义（指数映射是局部微分同胚）。最后的Gauss- Bonnet公式无疑是整个课程的最终升华，不过很可惜普班只能讲到局部的结论。事实上，整体的Gauss- Bonnet公式是沟通微分几何量\(\iint_DK\mathrm{d}A\)和拓扑量\(\chi(D)\)（Euler示性数，对应到局部版本里的单连通）的桥梁。更进一步，也是通往现代指标理论的必由之路。

（2） 【关于计算的建议】 具体学习的话，这门课的核心的任务就是计算。首先当然是要熟记各个几何量的计算式，这是最基本的工具。期末判卷的时候，有一题要求计算沿球面纬圆的平行移动，但很多同学都算得磕磕巴巴，列不出平行移动对应的ODE，可见基础计算还是要加强（习题课还讲过基本一样的题￣へ￣），而且做作业时候不要光抄答案了事。像求解各种曲率、Christoffel符号、曲面上诸微分形式（尤其是联络形式\(\omega_1^2\)）、等距变换、测地曲率、测地线等都要多加练习，很重要的一点是不要怕解微分方程！

更进一步，是要真正的会算。也就是清楚自己到底需要哪些几何量与几何方程，并且能熟练运用我们的工具（具体到这门课，工具指的是活动标架/正交标架）。举一个例子，期末最后一题要求证明Jacobi's remarkable curve theorem：

如果曲率恒正的弧长参数闭曲线的主法向量轨迹（主法标线）是单位球面上的简单闭曲线，那么把球面分成面积相等的两部分。

要讨论面积，这门课里最有用的工具当然是Gauss- Bonnet公式，其中唯一未知的几何量是主法标线\(n(\rho)\)的测地曲率。根据定义，我们需要确定\(\dot n,\ddot n\)，而n又是主法向量，计算这两个几何量的最佳工具当然就是Frenet标架了。这样，反推回去，每一步计算细致些，最终的结果也就不怎么困难了。

（3） 【针对张老师这门课的学习建议】 这里主要聊聊广受吐槽的一点，就是张老师讲义里会用很多从未接触过的流形语言（其实我还蛮喜欢这种讲法，这样确实可以把很多内容，例如第一、二基本形式实际就是二阶张量，以及外微分方法部分等讲得更清楚些）如果是基础方向的同学，我强烈推荐同时修读微分流形这门课。掌握了更近代的工具，学习这门课会更加游刃自如。当然，如果是非基础方向的同学，可以多与教材作比较，把讲义上的内容和数分内容对应起来（比如求导操作或者微元等），或许能减少一些疑惑。当然，多问问助教和老师也是很重要的。

（二）关于老师 ：昨天到老师那里领餐券，被张老师留下来聊了聊这学期对教学上的建议，其中有聊到学生评课里面反映的一些问题，比如讲义里流形语言和符号超出了一般同学的学习范围，以及授课过于平淡等等。张老师也讲了讲自己打算的改进方向，例如可以减少流形语言的使用频率，或者拨更多时间去讲解这些内容。就整学期来看，张老师给我的印象是非常好的，无论是与我们助教相处，还是在课程群里发讲义和答疑，都很温和且尽责（并且还给助教额外发了津贴，嘿嘿）。授课上确实存在一些问题，不过能看到老师很希望能根据每学期的经验进行改进，并且愿意听取学生和助教的建议（今年老师的表现与去年的评课相比感觉好上不少，可以看到确实是有用心思），这在任课老师中还是比较难得的。所以如果之后的学弟学妹们再选张老师的课，可以多向老师问问题，或者提些自己的建议，老师都会很欢迎。

（三）关于助教经验 ：张老师的作业题全部源于教材小蓝书。所以我在习题课上有意补充了一些与小蓝书风格不太一样的题（主要取材自往年考试，刘世平老师去年带H班布置的题，还有陈维桓的微分几何）。关于补充内容的话，这学期并没有讲得很多，我的取材是一些整体微分几何的专题，比如等周不等式、旋转指标定理、整体曲面、Liebmann刚性定理、还有渐近Chebyshev网（本来想最后一次习题课就着渐近Chebyshev网讲完备曲面和Hilbert定理的来着，不过临考就没加www），其实主要是把刘世平老师去年的内容搬过来讲讲。主要是想给同学们展示一下微分几何的更多应用。不过有个不合格的地方是没有在习题课上注重讲解老师讲义里的流形语言，这个确实是疏忽了，如果以后的助教看到这里可以注意下。（底下是习题课讲义，用作参考）

（最后吐槽一句，流传的那个答案还是存在错误，有些题也写得并不太好的，大家学这门课时作业还是不要照抄甚至以那个为标准哦www）

第一次习题课by黄天一.pdf

第三次习题课by黄天一.pdf

第五次习题课by黄天一.pdf

第七次习题课by黄天一.pdf

这门课是我两年半以来上过最烂的专业课没有之一，上课完全不知道在干什么，一头雾水看老师在上面唱戏，讲义也看不懂，现在距离考试还有一天，已经破防了，什么都不会，没去杨迪老师班后悔死了，等期末考完再来细评。

好了已经考完期末来补充一下，期末考试纯计算比手速，很多知识点甚至没有考到，无非就是算EFGLMN之类。讲义一眼没看过，上课一耳朵没听，纯课下看着那本小蓝破书痛苦自学的，但是由于课本并没有怎么讲几何意义所以学的也很晕。但是鉴于期末考了90+所以还是不多评价了，我压根不知道怎么考的（晕）。总之抽到了就快换班罢（（（

我觉得老师讲课很好啊。思路流畅连贯，逻辑严谨。如果有听不太懂或没跟上的地方，下课去问也能得到很好的解答。课后还会发讲义，内容很清晰

概统人学这课没什么不好，比如用MDS降维时你会知道为什么高维空间的度量不适合地位嵌入曲面，这时候你要计算测地线距离来获取真实度量。而且会有些世界观上的思考，我们这个世界如果加上时间维度，有没有什么样的几何？

另外这课介绍的概念本来就挺基础，对曲线和曲面的近似展开认知感觉高中就应该掌握（就好像概率中前两阶矩非常重要，他们有很好的解释；曲线曲面展开时的二阶三量有一个比较好的几何直观，那也是很重要的）。所以概统人学这课就权当一乐，不用太细究更推广的高维空间知识。

我自己收获最大之处也是培养了一些正确的几何直观，了解到什么是内蕴和外蕴的，也终于接触到一点非欧几何和球面几何。

最后想感谢两位助教的付出，尤其感谢ty助教，习题资料总是准备的非常详尽，考前一天凌晨还在答疑真是泪目了。可惜我也就把所有那些基础的东西搞定了，不想多了解解pde的那些技巧，以至于期末考试考的非常非常非常非常难受，，，

先给个10分拉高平均分。

老师备课非常认真，思路清晰，听不懂的问老师解答的也非常认真，而且也会有latex的课程讲义。值得一提的是老师语言表达流畅且从来没有挂过黑版（这两点分别和yd、wb形成鲜明对比）而且老师人很好，听说有人和高钙叠了就开网课。在我看来张老师的课程应该和邓书记的A2、叶郁老师的线代、赵立丰老师的微分方程相提并论，值得一个十分。

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一更: 期中炸了呜呜呜 这卷说难不难，但是一旦错了一点就要扣很多分…一环扣一环的，前面想错了后面根本做不出来

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二更: 第14周9:55教室里共20人，10:55教室里共28人，抬头的共9人。学弟学妹们自己看着办吧。以及，zyb班上作业真的不多。

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三更：助教xgg大好人呜呜呜，批卷大放水，作业貌似是按时十分迟交九分，而且ddl十分宽松（和隔壁泛函形成鲜明对比）

期末复习时用三天听了隔壁班4.1-5.5的回放，给我的感觉是：书写的不好（相比之下我觉得泛函教材可读性都比小蓝书要好），许老师想用更低的观点（线性代数）让大家听懂，张老师想用更高的观点（张量，etc)让大家听懂，效果显然是前者更好……旁听的笔记贴在这里，供有需要的同学取阅

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出分了，感谢老师捞一手

概统人，不知道学这门课有什么意义。

多打一星给善良的助教gg。

课没学懂，不做评价

感觉老师讲课讲的挺好的，虽然我也听的不多就是了，但是老师讲义写的很好

两个助教都超级nice，老师人超级超级超级超级好向所有学弟学妹强烈安利！！

期末考试感觉挺难的，平均分应该比隔壁低不少，但是老师调分力度很大，快选快选快选

出分了来评价

这门课主要讲古典微分几何，考察的形式也以计算为主，期中期末考试中有不少的计算题来送分，个人认为拿到这些基础分数成绩不会差

上课方面从讲义看的出老师准备是很充分的，不过采取的表达形式比较高等，而且并不属于课程要求，所以讲义看起来会有些难懂

印象中老师只点过一次名，而且是否算入总评并不清楚，个人认为比较适合以后不打算走这方向的同学选课来获得这3学分

作业不多且有答案，助教习题课讲义很清晰并且会有补充习题，补充习题中提到的知识点在考试中都有涉及，吹爆hty助教