敲一下期末考试题

一、(15')

      计算 \(I=\int_{|z|=3} \frac{e^z}{z(z^2-1)} dz\)

二、(15')

      给出从区域 \(D\)\(=\{-\frac{\pi}{2}<\mathrm{Re}z<\frac{\pi}{2},\mathrm{Im}z>0\}\) 到上半平面的共形变换 \(f\) ，且使得\(f(0)=0,f'(0)=1\)

三、(15')

      设 \(f \in H(B(0,1))\cap C(\overline{B(0,1)})\)

      (1)若 \(f\) 无零点且在\(\partial B(0,1)\)上 \(f\equiv1\)，则\(f\)为常数

      (2)若 \(f\) 有零点且在\(\partial B(0,1)\)上有 \(|f| \equiv1\)，求\(f\)

四、(10')

      \(f\) 为整函数，且把任意无界集映为无界集，则 \(f\) 是多项式

五、(10')

      若整函数 \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\) 在实轴上取值恒为实数，则 \(a_n\) 均为实数

六、(15')

      (1)叙述\(\mathrm{Riemann}\)映照定理

      (2) \(D \neq \mathbb{C}\)为单连通区域，且全纯映射\(f:D \to D\) 满足 \(f(z_1)=z_1,f(z_2)=z_2,z_1 \neq z_2\)，则有\(f(z)=z\)

七、(10')

      若实轴上的函数 \(f\) 及其\(\mathrm{Fourier}变换 \hat{f}\) 均为紧支的，则\(f\equiv 0\)

八、(10')

      利用整函数的\(\mathrm{Hadamard}\)定理证明 \(e^z=z\) 有无穷多个解

复分析这门课相对而言体系感觉并不是很明显，很多知识是碎片化的，没有隔壁实分析看起来脉络更清晰。不过复分析由于研究的函数性质最好，能得到比实分析中看起来优美很多的结论（优美似乎偶尔也预示着更有技巧性）

基本上课是wb在上，中间lhz和wj也带了两三次，课堂体验应该还是不错的，wb讲课速度也不快（甚至可能有点慢了），而且在证明大定理的时候应该分析思路还是能展现的很明确的，除了偶尔的挂黑板或者一些别的错误，整个上课还是比较流畅的。整个学期下来应该讲了史济怀的前七章（除了少部分内容，包括3.6,3.7,5.6,5.7,6.3,6.4）和 Stein的第四第五章（Fourier分析和Hadamard整函数分解），虽然整体节奏感觉偏慢，但最后应该还是把该讲的东西都赶完了。

作业有些多，感觉是本学期平均作业最多的课了（xw代数有几周作业多，但后期作业少），课程一开始的作业基本在于计算，算积分、算级数之类的，到了讲了Schwarz引理之后史书上的习题逐渐感觉就有些变态了，很多题实在是完全没思路，有的时候做作业比较痛苦。

这课实在比较细碎，感觉考试也很难准备，期中其实难度不大，但还是寄了，积分和共形变换这种基础计算题全都错了。期末难度不大，希望wb给分能够捞一手

上一份笔记错误太多，更新一份：复分析（H）笔记.pdf

数了一下，本学期复分析作业共116题（没有计算小题数，某次留数定理算积分多达8小题）。因为听闻复分析用处很多，和各种数学都有联系，复分析是我这学期最重视、花时间最多的课，自我感觉在硬肝难题方面也算小有天分，就这样后几次作业都次次有不会写摆烂的。建议前面用sjh上课的时候减少题量，每周少布置个两道都行。

先说上课，王兵老师的课比较对我胃口，抄笔记的同时也能比较轻松的follow住，老师也很注重学生的反应。作为对比地，中间lhz代了几次课，相同的课时，笔记量起码是wb的1.5倍。这也意味着今年的内容相比去年有一定的减少，比如wb应该是跳过了lhz讲义上的一些例题的，比如Stein只讲了4、5两章，不过内容也不少了。本学期期中之前王杰老师的习题课讲义内容丰富实用，甚至把要说的台词都写进去了（x），期中之后无论习题课频率还是答案质量都有明显下滑，希望以后改进。

复分析和实分析相比，会多很多扎实的计算与估计。基本上就是在新的框架下去使用数学分析学到的分析技术。我个人的体会是整门课都是从非常少的几条非平凡的定理（积分—柯西积分定理和Morera定理，级数—展开定理）生长出来的，即使学到后面的留数、单叶函数、全纯开拓，也能从根基来理解这些概念（留数就是给积分起个雅名然后用柯西积分定理，单叶就要讨论展开的主项，开拓就是局部验证Morera），其实并不是太难把握。而且因为我们做了大量实实在在的计算，印象也会比较深刻。

这门课无论普班还是H班，这几年的考试难度一直都不大，确实有些脑筋急转弯性质，注意到了就能秒，方向选错就会卡。本学期期中比较难，期末还是出了相当多的送分题的，背不住stein的定理条件也怨不得谁，看之后怎么给分吧。

前排提醒，2024春复分析H的主讲老师是王兵老师。

emmm王兵老师上课好坏参半吧。前期对着20年lhz老师的讲义念，导致我没听过课，到史书六七章和stein四五章的时候我再听他讲课，可以听得出来虽然基本还是念书，但是他能把书念好，明显是自己整理过思路的。听他讲大定理确实是一种享受，因为他会先讲证明的总体思路，再去补充细节，这一点很重要。

剩下两位老师都只带了一两次课，lhz老师是因为王兵老师出差，而wj老师应该就是锻炼一下青教。

课程内容方面：讲了史书1-7章的绝大部分和Stein4 5章的大部分。

作业的话，基本都是史书的习题，五六七章的习题难度极高，建议从四面八方收集答案来写。。

最后几周讲stein，习题也是stein上的，体验丝滑很多，建议进行课改，以后都按stein讲（不是）

考试：期中考试emmm 感觉难也不难，但我就是考炸了，哈哈大笑。哦对期中期末都是王杰老师出题，王兵整个学期基本只起到上课和约教室的作用（暴论）

看给分吧，虽然我基本已经似了。

复习的时候突然被提醒最后一周作业还得收，不是哥们.jpg

复分析的复习刚打算告一段落去搞近世代数的时候告诉我讲过的东西都有可能考，意思是我还得把期中前的东西再看一遍？不是哥们.jpg

刚考完期末，很难评价这张卷子，我不想默写Stein😭

史济怀的教材一言难尽。期中寄穿了，等期末考完再细评。

果然寄了，喜提第一门重修的课，复分析这种脑筋急转弯之类的技巧我是真的不会。