助教工作只剩下最后的期末卷了，来聊聊感想，顺便给大家一些期末复习建议。

150+人的班只有俩助教，自然格外折磨，尤其另一位助教和我商量决定每次周二交的作业周四就改出来发掉，带来了上学期的不少不眠之夜（其实我们改作业的给分标准是有放水的，但本着负责的心态，该挑出来的错肯定还是会挑出来）。

不过，总体来说当助教还是挺开心的，尤其是讲习题课的环节(?)，补充了一些内容，也整了一点小活（比如拿着数学实验的作业上去展示）。最值得总结的：尽早下一个Mathematica，毕竟迟早会用。

期中考试，说实话挺出乎意料，因为时间压缩只能出偏计算的简单题目，可能对严格证明的书写不太有代表性，对助教来说意味着好改，我们班考得也不错，是好事。

期末考试应该不会以期中前的内容作为重点，所以几何公理和线性空间、刚体变换下的二次曲面分类熟悉一下就好，但二次曲面可能需要仔细一点看(毕竟和后面也息息相关)。

第四章，几何与变换，具体的变换群与写成坐标变换的矩阵群对应，而变换的性质也对应矩阵的不同性质。除了对一些基本性质的熟悉，也最好结合作业看一看怎么用抽象的论证刻画出直观性质。［以及，对于一些新定义，怎么通过代数关系研究它的性质］

第五章，射影变换，按往年的经验应该会是期末的重点，个人推荐的复习顺序是：齐次坐标基本概念→齐次坐标系下的基本计算(比如交点、交比、过两点的直线、齐次化)→联系直观理解RP¹与RP²定义→射影平面公理→R²上的观察→射影变换在R²上的几何表现→射影变换的代数→RP²满足公理的验证→更多射影几何定理。如果没有充足的时间，至少把涉及到的计算搞清楚，例如二次曲线如何变换成固定形式。

第六章拓扑，大部分的内容是联系直观的，过一遍定义定理，再把作业题看一看就好，注意理解的细节(如三角剖分要求)。

最后祝大家期末好运:-)

这学期［22秋］我担任王老师的几何学基础的助教之一，在大家正式开始学习这门课前，先介绍一下这门课程之前还是4学分时盛茂老师的教学内容和注意事项（课程讲义是盛老师与王老师共同完成的，以下部分可能会有不讲的，也可能会有新增的，仅供参考）：

第一部分，几何史与公理化。这部分的内容看起来比较简单，也有很多故事性的成分，不过，最重要的是公理化的思想：如何用最少的“限定”所给出我们常见的三维欧氏空间的性质？这样的定义与另一套之前或许接触过的“向量”系统是否能很好地“相容”？从这套性质出发能否得到熟悉的完整体系？从欧几里德到希尔伯特的故事中，可以看到公理化过程的发展。此外，通过这部分的学习，也应掌握严谨书写证明的能力（每一步都有据可依）。

第二部分，平面（解析）几何。这部分的要点是几何与代数的连接。点和直线如何与数和方程对应？几何操作如何与向量运算对应？变换如何与矩阵运算对应？变换群是什么？不同种类的变换对应的变换群是怎样的？值得注意的是，这里有一些复杂的细节操作与证明（例如引入内积时），但个人认为这些证明并不是掌握的重点，最重要的还是建立好联系（Tips：学好代基^_^）。克莱因的观点中，几何是研究变换群作用下不变的性质，而接下来的过程则是对此给出具体的例子：

第三部分，刚体变换。刚体变换——平移、旋转、翻折可能是我们最熟悉的变换，而它保持的性质也就是我们最常见的“形状”与“大小”（矩阵的角度具体是什么保持了形状/大小，将在线性代数中学到，具体来说，矩阵的行列式决定了大小的变化，而形状的变化则可以由分离出正交阵［即旋转翻折对应的矩阵］得到较简单的形式）。由于事实上在中学的学习中，我们已经接触到了不少刚体变换的操作，这一块的学习不会太过困难。不过，将这些熟悉的操作与并不熟悉的矩阵相匹配时，还是会存在难度，这里推荐3Blue1Brown的线性代数系列视频（B站可以搜到），应该几乎覆盖了这一块的代数相关。

第四部分，二次曲面分类。这事实上是利用代数去研究几何的一个很好的例子，藉由代数上对三元二次多项式的刚体变换处理与分类得到几何上对三维空间中二次曲面的处理与分类。虽然涉及的知识不算太难，但是代数的处理并不简单，也需要一定的基本功。多算几个具体的情况可能是比较好的选择，而比起死记硬背十几类二次曲面是什么，更应注意分类后将每类视为相同的“等价类”思想。（事实上，二次曲面的分类是在仿射变换的意义下的等价类，仿射变换可以看作刚体变换与伸缩的复合。）

第五部分，射影变换。从刚体与欧氏平面走到射影经历了一个“自然”的想法——平行直线交于无穷远点。然而，想要从这件事出发建立完整的几何理论是一个十分困难的事。在这段，会学习到射影直线、射影平面、齐次坐标系等一系列新概念，也是课程相对最困难的部分。想要学好这一部分，有三件事非常重要：首先，虽然射影平面很难有整体的直观，但我们可以建立“局部”的直观，将它看成欧氏平面添加一些东西（事实上，其可以看成三个欧氏平面叠加，这也就是基础的流形思想），从而先在局部进行理解。其次，回到代数去，射影几何就是研究射影变换群下不变性质的几何（课程中也会学到，“交比”会成为所期待的不变性质）。当无法从直观上处理时，解方程或许是个不错的选择，也或许能从解的结果中发现性质。第三，“等价类”的思想。我们所操作的“点”可以看成是一列坐标，每次操作都是对其整体进行操作。因此，在遇到问题时，要熟悉对“良好定义”的考虑（也就是说，同一个等价类的东西在操作后不会分离到两个等价类中）。

第六部分，从射影的角度重新看平面几何。射影平面上有一个非常特殊的性质，即点线对偶。任何两不同点有且仅有一条直线同时经过，任何两不同直线有且仅有一个交点，将点与直线对应转换后，能得到互相等价的两个命题。因此，有些问题通过对偶原理得到的另一表述可能更加简洁。另一方面，将欧氏平面看成射影平面的一部分后，通过将“有共同交点”变换为“相互平行”，之前看起来复杂且困难的比例问题可能变得简单，比如有些同学可能在竞赛中接触过的调和点列的一系列问题。再比如，如果在射影平面中进行二次曲线的分类，会得到一个优美的结论：非退化二次曲线（椭圆/双曲线/抛物线）在射影空间中是同一类，并且对应着圆与无穷远直线相离/相交/相切。

第七部分，拓扑基础。某种意义上，拓扑是研究连续变换下不变性质的学科，关心的是最广义角度的“连续性”。在数学分析A2中涉及的平面上的开集闭集等，是拓扑在欧氏平面上的具体表现。这一部分没有太多硬核内容，主要是科普与一些有趣的拓扑性质（如欧拉示性数），算是对之后拓扑学课程的一个小小的先导。

如果说从这门课程中能学到什么，除了上述知识与思想外，还有一个非常重要的东西：对“直观”理解与思考。从刚体变换到射影变换再到连续变换，变换所能保持的良好性质越来越少，我们也越来越难建立直观。某种意义上，学几何学是为了培养直观，也是为了摆脱直观。从笛卡尔引入坐标系起，“直观”的图形变成了“不直观”的方程式，有些结论却变得更加简洁。在大家苦于高考解析几何的暴算时，不妨想想，如果没有这样清晰的计算工具，如何研究椭圆？当矩阵变换下，很多性质都无法确定时，我们为了得到最终结果，还是需要“抽象”的代数。另一方面，直观仍然重要，因为它可以带来对一些结论的敏感。哪怕是代数中，很多时候为了建立理解，都要举出很多例子，为的就是让某个抽象的定理更加“直观”。几何中更是如此，我们希望射影平面可以部分当作欧氏平面处理，就是因为可以在欧氏平面中画出具体的图形，更好体会结论。所以，这门课程中几何与代数的结合，或许也是在构建一个直观与抽象间的平衡。

另一个值得提醒的是，这门课被有的同学戏称为「线性代数A0」，足见其线代含量。如果轻视了矩阵和相关的处理技巧，也很难把这门课学好（这也是为什么上方推荐了线性代数相关的视频）。其中涉及的最难部分大概在二次型对角化（二次曲面分类）处，到时候可能会根据讲课情况补充一些前置知识。

王作勤老师，人称火箭，一直都是以极高的课程质量与相对困难的内容闻名数院（但考试应该不会为难大家，给分也非常好）。目前，我还并不清楚老师准备讲述哪些内容（个人推测以上的部分是会覆盖的），不过，不管怎么说，希望和大家一起进行这一个学期的学习后，能对几何产生更深的认识（也能和我一起喜欢上🚀老师［确信］）。

3B1B新出了一个很不错的有关几何直观的视频：几个错误直观带来的伪证，值得一看。

转院人的第一门数学课；深夜补录播，看到名场面了，躺在🛏️有感而发。

听了没几节课，到线性空间的时候，就基本成为🚀迷弟了。火老师的课我是要倒带（拖进度条)的，虽然经常事后诸葛亮发现东西很基础，但是如果想跟上🚀的思路，学习过程中必然是要经常反复琢磨的。当初是冲着大家说代基很难而决定先学几基，现在看来🚀把这门课提到了不属于它的高度。

然而“难课”是不会引得我为一个素未谋面的老师写如此长评的，真正震撼到我的是🚀老师的高占位以及他对此清晰无比的讲授。这一突出优点可谓前人之述备矣，我只是很想从主观角度再把它描述一遍。从向量几何中纯粹的几何推导，到引入代数化的动机，再到代数表达式的发展、变形、引入矩阵，最终从“高等”的代数出发建立以群为基础的几何代数化模型，🚀的整门课就是一条通向“几何是什么”的坦途，即使偶尔你会走到弯弯绕里去，最终回过头来看，不过是走了一条折线到达终点，而回首凝望时，一切都是如此简明清晰。

下面是输出个人情感的一小段

我认识的学长里数院的跟其他院的加起来差不多，之所以等到春季学期才决定转院，一方面是彻底受够了做一些事，另一方面也是早早知道了数院的艰辛以及数学专业课特别的难度。但几乎是🚀的课最终把我推进了这个大坑（笑）里。毕竟学业在大学里往往并非最重要的，却容易占据主要的时间。对待真正重要的事情（在我这里是诸如乐队一类的事情）时我习惯三思而后行，这一次我太想任性一把了，如果非要学点什么的话，我只想学这样的数学。

希望日后那个不得不追逐一张废纸和上面的一些奇怪小数的我，还会在某天躺在🛏️上，再回想起这种被理论的美震撼的感觉。是的，理学本身是没有美的，理论的美也不取决其是否高妙。这种美来源于人思想的交互。我个人认为数学是研究由概念生成的“另一个世界”的学科（只是目前的“认为”罢了），在火箭的课上，我能看到人用自己的思维把这个世界构建得令人满足。

最后贴上开头提到的名场面，正适合以此作结：

”火箭是干什么的，火箭是带大家上天的。上天干什么？上天你能看到更大的风景。而我们这门课其实就是在做这样一件事情。”

“定要摘到，属于我的那颗星！”——星见纯那

十分推荐选这门课。

首先，即便这门课的名字叫几何学基础，它并不要求你具备太多中学的平面几何知识，只需要知道一些基本的、中学课本上有的结论（其实绝大部分的内容连这些知识都不需要）就能顺利完成这门课的学习，可以说零基础也不会跟不上。

课程内容丰富，连贯性强。整门课学下来能对几何学的发展有一个大致的了解，在学习几何同时还能学习到很多其他内容，比如线性代数、群论的一些知识以及一些研究数学问题的方法等等。当然，这门课的学习并不需要你提前学习线性代数以及其他额外知识（本人便没有学习），但据学习过线性代数的同学说会对线性代数和本门课程的某些定理和结论有更加深入的认识。

🚀授课也十分有激情。上课的感觉就像是和数学、和🚀在对话。🚀能把一些复杂的证明背后的思路讲的很明白，也能把证明定理的动机、定理的应用阐述清楚。值得提醒的是🚀的讲课速度很快，需要同学们紧跟着他的思路，有一次睡了20分钟一抬头四面黑板的内容都更新了（（但只要跟上🚀的授课，你会觉得整个思路十分自然连贯，听完一堂课会有意犹未尽的感觉。

作业方面，形式一般是几道必做题+几道选做题。作业题目数量一般不会很多，但是思考量很足，可能会耗费一定的时间，比较难的时候一周的作业可能需要三四个小时左右。选做题虽是选做，但其中也不乏有意思的题目和结论，可以适当看一看（事实上这本教材上的题目个人感觉质量都很高），更详细的作业情况可以看一看课程主页（几何学基础 (ustc.edu.cn)）。作业要占平时分，有错误会被扣分，但每次作业30满分平均分也都会有29左右，只要有交上作业就无需担心平时分的问题，不会和别人拉开太多。

考试方面，期中组织了一次小测，1个小时的时间以计算题为主，没有很大的思维量，但对计算准确度要求较高，算错一个就亏麻了；期末考是2个小时，有判断题、填空题、解答题、证明题。前面的部分计算占比也较多，最后一小题有较大思维难度，做出来的人很少，但好消息是也只占5分，其他的题目只要平时有好好学，作业认真做，应该没有太大的问题。

两位助教哥哥也十分认真负责。作业批改迅速，周二交作业周四就改完发掉，经常在群里看到助教三四点钟的时候对作业的吐槽。习题课的内容也很丰富，除了讲解作业之外也有很多扩展的知识，开阔了视野，而且即便知道这个时间没什么人会来习题课两位助教哥哥也会到场。还能经常看见助教水群的身影。两位助教的工作十分辛苦，感谢他们。

最后说一说给分。这学期给分是作业占30，期中小测占10，期末考占60。在调分之前我刚好卡在95多一点点，听说优秀率超了所以最终给分迟迟不出，还有点担心会掉到4.0。但最后🚀还是没让我们失望，最后的优秀率是50％左右，也是顺利拿到了4.3。

总的来说，🚀确实yyds，选这门课不会后悔

以下是夹带的私货。

妈的这门课真是太他妈爽了。每次回想起课程内容的一些精彩部分和一些贼几把妙贼几把美的定理都他妈会有射精般的快感，我他妈这是怎么了

一年后来更新下观点：中科大第一学期对数学方向同学的数学课安排略显松散，具体表现在：代基可以被必修课《近世代数》高级替代，几基提供概念背景动机（如用曲面分类引入相合变换）的作用在基础课程（如线代）中并不大，射影几何和拓扑简介也仅仅是比较粗糙的介绍（事实上拓扑学只有两个方向必修，这些同学如果按目前培养方案是大三修，到那时恐怕早就忘光了）；另一方面代基几基这两门定位尴尬的课却共有6个学分，和数学分析相当，有些失衡。与此同时数分线代系列都要大二上才结束，导致大二上剩下的必修课只有微分方程，这个进度是比较慢的。对大多数同学来说更好的安排是第一学期直接上线代而不是目前这两门，不过这只是一种设想罢。

学这门课的初期可能会觉得东学一点西学一点，到了后期真正的主线才会昭示，应该说整个课程很完整连贯的研究了古典的一些几何。的课堂充满激情，语速倒不是太快但是每一句话都在推进新的内容，所以不容走神。课上可能没时间讲例子，不难验证留作习题。

我是隔壁陈老师班的，来这里是有别的事要干（当然王老师课必然是10分）。

我想对教材提出一些意见。就这次的教材本身，我觉得已经是非常好的水准了。（隔壁班的）王老师写的教材还是非常值得品味的。但有一些地方我觉得还可以再改进，更上一层楼：

• 一是证明保持原点不动的刚体变换必有不动轴的证明，书上较为突兀的直接扔出了一个行列式，说它必然等于0。私以为，其实这个定理有着浓厚的线性代数味道，算是特征向量几何意义很好的一个诠释，这个证明可以改成更加线性代数的证明，并对特征向量进行一些说明（陈老师上课时就用了线性代数的证明，停下来感觉非常不错）。
• 二是我认为投影变换有点冗余，而且记号有点复杂，私以为可以不讲（当然可能是我的理解不够）。
• 三是拓扑那一部分讲得还是太过不严谨了，至少本人完全没有看懂书上在讲什么，陈老师上课我也只听懂了三角剖分。当然这一部分更多是科普性质的，要求没这么高就是了。
• 四是感觉刚体变换那边，探究点变换和向量变换之间关系的时候，可以用上群同态同构的观点，可能更好。

希望这门课越办越好吧！！！ 

少院大一秋限选表里面有几基这门课，当时出于高中数竞时期对几何的兴趣就选了这门课，选课时盲选了火箭的班，现在看来这个决定太正确不过了。这门课绝对是我大一上学期收获最大的一门课，极大地开阔了我的数学视野。

首先从课程内容本身而言，这门课先从希尔伯特公理体系开始，再引入平移、对称等基本几何操作，进而自然地引入了“变换”这一核心概念。在这之后，整个课程主要都是围绕各种变换和对应的变换群展开的（这也对应了火箭在这门课上对几何的主要定位：感受埃尔朗根纲领中变换群的核心地位），先是在欧式空间这个最熟悉的背景下研究了坐标系、向量运算等代数操作，再将其与刚体变换结合起来，用矩阵这种代数语言来处理几何问题，然后引出了平面/空间解析几何，用矩阵的线性代数性质探讨了二次曲线和二次曲面的分类（这里可能是这门课程中几何与代数联系最紧密的地方，也充分印证了在讲义引言中所提到的“为学习线性代数提供充分动机”）。在初步熟悉了矩阵语言之后，继续利用矩阵来刻画相似变换群、仿射变换群等，发掘不同变换群下不变的几何性质。之后，通过无穷远点的引入，进入了射影几何的领域，这里也是课程的重难点，在定义了射影坐标、等价类等基本概念之后，我们发现了射影变换下RP¹上的不变量：交比，并利用透视投影在RP²上的共线四点也定义了交比，最终给出了射影变换的最终刻画。

总体来说，这门课程循序渐进地对几何的变换群思想进行了介绍和初步应用，除此以外也介绍了球面几何、拓扑学等学科的基本概念，在涉及了初等几何的方方面面的同时也做到了有条有理，一遍学下来之后会感觉很有收获。

第二，由于我是少院非华班，所以这是我大一上学期唯一能和数院人进行接触交流的课程，在平时课程群的各种讨论中，我开拓了对数学这一专业的视野(见证了无数巨神的恐怖）  ，对数学专业有了更为清晰的认识，也是这门课程进一步让我决定走数学这一条路。

第三，火箭绝对是科大最好的老师之一，他能做到一次课一个半小时从头到尾高强度灌输，几乎少有停顿和闲话，语速也很快，足见火箭备课的认真程度。每次课后火箭也会在个人主页上给出一些高质量的习题，很多是的概念的验证和讲义上一些定理证明的思想的运用，能够有效地帮助巩固课上学过的概念和定理的证明梗概，只是每次作业都做得磕磕绊绊，往往几道题要想个半天，也许是我太菜，但我想以后数院其他专业课的作业应该也会是这样，在火箭这里就算是适应一下以后的节奏了。此外，火箭的个人主页上也有很多高质量的讲义，是自学的很好的材料，也有助于打开数学视野。

最后简单提一下课程的考核给分情况：

平时作业每次满分30分，十几次作业取平均得总评的平时分，占总评30%；

期中有一次小测，难度不大，主要考察基本计算和概念辨析，占10%；

期末考试更加综合，有判断、填空、计算、证明（ps:火箭在判断、填空上都多加了一题，给了一题的失误空间）（pps:火箭往往会在卷子上设置一道难度较大的题目，22年的考试在最后一题最后一问出现），占60%。

期末卷面出分之后助教公布不调分情况下40%的线是86.3，群里都以为要向下调分了。我平时分大概29点几，小测满分，期末91，本来以为铁定4.0了，结果今天一出分发现居然火箭给捞到了4.3，只能说：火箭，永远的神！以后有火箭的课必须要选！

（附出分后火箭的话：各位同学，很抱歉成绩出来得比较晚。在陈老师和我的共同努力以及学院领导的支持下，成绩最终被审核通过了。我们班最终优秀率约50%（但非常遗憾的是还有好几位84分的同学没法上调到85）。不管怎么说，成绩的高低只是一时的，重要的是大家在这门课里学到了什么（具体的知识、看问题的视野、数学的演变等等）。但愿同学们会因为这门课所学到的内容而记住或者喜欢这门课。如果对这门课有任何想法，欢迎来我办公室跟我单独交流。祝大家在后续的课程学习中都能收获满满。））

最后的最后，附上火箭的一张图：

想了想应该从哪方面开始写。决定单纯从个人角度出发写个评课。

首先是对课程本身。几何学基础这门课在刚上大学的我看来有点抽象……主要是学过之后回忆一下真的不记得具体讲了什么。希尔伯特公理是肯定背不下来的，好在考试不怎么考，即使考也是判断题。然后是刚体。后面记忆最清楚的是二次曲面的内容，在后面学线性代数的时候还用的到，主要偏计算，是我喜欢的东西。后面的射影空间则忘光了。

关于王作勤老师。王老师讲课很好，人也很好。讲课很有意思也很有个人特色（就是我经常跟不上）。数院很多老师是听课就知道水平很高的。由于没怎么主动交流过，能知道的也就这么多。

关于给分。本人期中尚可。期末由于后期跟不太上课堂常常走神玩手机，连亏格都不会算，最后3.3。大概是个人问题。与均分对比不知。

很好，爱来自USTC。

之前有自学过一点射影几何的内容，但比较肤浅，也没有系统的学习。

这门课给了我很多看待旧知识的新角度，也学到了挺多有趣的内容。