助教工作只剩下最后的期末卷了，来聊聊感想，顺便给大家一些期末复习建议。

150+人的班只有俩助教，自然格外折磨，尤其另一位助教和我商量决定每次周二交的作业周四就改出来发掉，带来了上学期的不少不眠之夜（其实我们改作业的给分标准是有放水的，但本着负责的心态，该挑出来的错肯定还是会挑出来）。

不过，总体来说当助教还是挺开心的，尤其是讲习题课的环节(?)，补充了一些内容，也整了一点小活（比如拿着数学实验的作业上去展示）。最值得总结的：尽早下一个Mathematica，毕竟迟早会用。

期中考试，说实话挺出乎意料，因为时间压缩只能出偏计算的简单题目，可能对严格证明的书写不太有代表性，对助教来说意味着好改，我们班考得也不错，是好事。

期末考试应该不会以期中前的内容作为重点，所以几何公理和线性空间、刚体变换下的二次曲面分类熟悉一下就好，但二次曲面可能需要仔细一点看(毕竟和后面也息息相关)。

第四章，几何与变换，具体的变换群与写成坐标变换的矩阵群对应，而变换的性质也对应矩阵的不同性质。除了对一些基本性质的熟悉，也最好结合作业看一看怎么用抽象的论证刻画出直观性质。［以及，对于一些新定义，怎么通过代数关系研究它的性质］

第五章，射影变换，按往年的经验应该会是期末的重点，个人推荐的复习顺序是：齐次坐标基本概念→齐次坐标系下的基本计算(比如交点、交比、过两点的直线、齐次化)→联系直观理解RP¹与RP²定义→射影平面公理→R²上的观察→射影变换在R²上的几何表现→射影变换的代数→RP²满足公理的验证→更多射影几何定理。如果没有充足的时间，至少把涉及到的计算搞清楚，例如二次曲线如何变换成固定形式。

第六章拓扑，大部分的内容是联系直观的，过一遍定义定理，再把作业题看一看就好，注意理解的细节(如三角剖分要求)。

最后祝大家期末好运:-)

这学期［22秋］我担任王老师的几何学基础的助教之一，在大家正式开始学习这门课前，先介绍一下这门课程之前还是4学分时盛茂老师的教学内容和注意事项（课程讲义是盛老师与王老师共同完成的，以下部分可能会有不讲的，也可能会有新增的，仅供参考）：

第一部分，几何史与公理化。这部分的内容看起来比较简单，也有很多故事性的成分，不过，最重要的是公理化的思想：如何用最少的“限定”所给出我们常见的三维欧氏空间的性质？这样的定义与另一套之前或许接触过的“向量”系统是否能很好地“相容”？从这套性质出发能否得到熟悉的完整体系？从欧几里德到希尔伯特的故事中，可以看到公理化过程的发展。此外，通过这部分的学习，也应掌握严谨书写证明的能力（每一步都有据可依）。

第二部分，平面（解析）几何。这部分的要点是几何与代数的连接。点和直线如何与数和方程对应？几何操作如何与向量运算对应？变换如何与矩阵运算对应？变换群是什么？不同种类的变换对应的变换群是怎样的？值得注意的是，这里有一些复杂的细节操作与证明（例如引入内积时），但个人认为这些证明并不是掌握的重点，最重要的还是建立好联系（Tips：学好代基^_^）。克莱因的观点中，几何是研究变换群作用下不变的性质，而接下来的过程则是对此给出具体的例子：

第三部分，刚体变换。刚体变换——平移、旋转、翻折可能是我们最熟悉的变换，而它保持的性质也就是我们最常见的“形状”与“大小”（矩阵的角度具体是什么保持了形状/大小，将在线性代数中学到，具体来说，矩阵的行列式决定了大小的变化，而形状的变化则可以由分离出正交阵［即旋转翻折对应的矩阵］得到较简单的形式）。由于事实上在中学的学习中，我们已经接触到了不少刚体变换的操作，这一块的学习不会太过困难。不过，将这些熟悉的操作与并不熟悉的矩阵相匹配时，还是会存在难度，这里推荐3Blue1Brown的线性代数系列视频（B站可以搜到），应该几乎覆盖了这一块的代数相关。

第四部分，二次曲面分类。这事实上是利用代数去研究几何的一个很好的例子，藉由代数上对三元二次多项式的刚体变换处理与分类得到几何上对三维空间中二次曲面的处理与分类。虽然涉及的知识不算太难，但是代数的处理并不简单，也需要一定的基本功。多算几个具体的情况可能是比较好的选择，而比起死记硬背十几类二次曲面是什么，更应注意分类后将每类视为相同的“等价类”思想。（事实上，二次曲面的分类是在仿射变换的意义下的等价类，仿射变换可以看作刚体变换与伸缩的复合。）

第五部分，射影变换。从刚体与欧氏平面走到射影经历了一个“自然”的想法——平行直线交于无穷远点。然而，想要从这件事出发建立完整的几何理论是一个十分困难的事。在这段，会学习到射影直线、射影平面、齐次坐标系等一系列新概念，也是课程相对最困难的部分。想要学好这一部分，有三件事非常重要：首先，虽然射影平面很难有整体的直观，但我们可以建立“局部”的直观，将它看成欧氏平面添加一些东西（事实上，其可以看成三个欧氏平面叠加，这也就是基础的流形思想），从而先在局部进行理解。其次，回到代数去，射影几何就是研究射影变换群下不变性质的几何（课程中也会学到，“交比”会成为所期待的不变性质）。当无法从直观上处理时，解方程或许是个不错的选择，也或许能从解的结果中发现性质。第三，“等价类”的思想。我们所操作的“点”可以看成是一列坐标，每次操作都是对其整体进行操作。因此，在遇到问题时，要熟悉对“良好定义”的考虑（也就是说，同一个等价类的东西在操作后不会分离到两个等价类中）。

第六部分，从射影的角度重新看平面几何。射影平面上有一个非常特殊的性质，即点线对偶。任何两不同点有且仅有一条直线同时经过，任何两不同直线有且仅有一个交点，将点与直线对应转换后，能得到互相等价的两个命题。因此，有些问题通过对偶原理得到的另一表述可能更加简洁。另一方面，将欧氏平面看成射影平面的一部分后，通过将“有共同交点”变换为“相互平行”，之前看起来复杂且困难的比例问题可能变得简单，比如有些同学可能在竞赛中接触过的调和点列的一系列问题。再比如，如果在射影平面中进行二次曲线的分类，会得到一个优美的结论：非退化二次曲线（椭圆/双曲线/抛物线）在射影空间中是同一类，并且对应着圆与无穷远直线相离/相交/相切。

第七部分，拓扑基础。某种意义上，拓扑是研究连续变换下不变性质的学科，关心的是最广义角度的“连续性”。在数学分析A2中涉及的平面上的开集闭集等，是拓扑在欧氏平面上的具体表现。这一部分没有太多硬核内容，主要是科普与一些有趣的拓扑性质（如欧拉示性数），算是对之后拓扑学课程的一个小小的先导。

如果说从这门课程中能学到什么，除了上述知识与思想外，还有一个非常重要的东西：对“直观”理解与思考。从刚体变换到射影变换再到连续变换，变换所能保持的良好性质越来越少，我们也越来越难建立直观。某种意义上，学几何学是为了培养直观，也是为了摆脱直观。从笛卡尔引入坐标系起，“直观”的图形变成了“不直观”的方程式，有些结论却变得更加简洁。在大家苦于高考解析几何的暴算时，不妨想想，如果没有这样清晰的计算工具，如何研究椭圆？当矩阵变换下，很多性质都无法确定时，我们为了得到最终结果，还是需要“抽象”的代数。另一方面，直观仍然重要，因为它可以带来对一些结论的敏感。哪怕是代数中，很多时候为了建立理解，都要举出很多例子，为的就是让某个抽象的定理更加“直观”。几何中更是如此，我们希望射影平面可以部分当作欧氏平面处理，就是因为可以在欧氏平面中画出具体的图形，更好体会结论。所以，这门课程中几何与代数的结合，或许也是在构建一个直观与抽象间的平衡。

另一个值得提醒的是，这门课被有的同学戏称为「线性代数A0」，足见其线代含量。如果轻视了矩阵和相关的处理技巧，也很难把这门课学好（这也是为什么上方推荐了线性代数相关的视频）。其中涉及的最难部分大概在二次型对角化（二次曲面分类）处，到时候可能会根据讲课情况补充一些前置知识。

王作勤老师，人称火箭，一直都是以极高的课程质量与相对困难的内容闻名数院（但考试应该不会为难大家，给分也非常好）。目前，我还并不清楚老师准备讲述哪些内容（个人推测以上的部分是会覆盖的），不过，不管怎么说，希望和大家一起进行这一个学期的学习后，能对几何产生更深的认识（也能和我一起喜欢上🚀老师［确信］）。

3B1B新出了一个很不错的有关几何直观的视频：几个错误直观带来的伪证，值得一看。

1.19评课：

上个评课写完后我看很多同学也跟我有所交流，也聊了他们自己的想法。可能有些人觉得我写的太悲观了，太沉重了。但这确实是三天的改卷过程给我带来的最大的震撼，有一些同学们出现错误地方也会让王老师有点不理解。我跟王老师讨论后，他的观点是可能对于那一部分证明书写存在非建设性错误的同学，也许现在就是一个时候来进行劝退。我也理解，因为有的时候其实没有很好的办法让一些达到数学课程要求的同学短时间内学会阅读题意和书写一个好的证明应该怎么做，那么可能学不会的同学就只能被劝退了。至于线性代数是不是应该前移到第一学期也一直是一个很大的话题，我听到有人支持有人反对。也有同学说，那些抗议要求课程削减的同学也可能是发声的少数，大部分同学应该还是会支持回到3学分的的一学期课程。至于是不是少数这件事我并不确定，但肯定王老师是支持回到3学分的一学期课程的，这样的话相对来说课时也会充裕很多，比现在半学期的课肯定是好教不止一点了。

我要和大家说明一件事，我只是说从阅卷结果上来看王老师的目的没有达到。实际上王老师预估的平均分是75分。当然了，你也可以说是他对同学们的要求太高了。我和王老师都觉得这届生源看起来应该是相当不错的，实际上阅卷的时候也能看到这一点，许多同学中学接受的数学训练基础是极为扎实的。但也有一部分可能来自于中学教育的缺失，这个话题就太大而且有点敏感了我就不在这里讨论了。王老师对平均分75分的猜测是这么来的，在他和申屠两人讨论后得到的精确的出卷下，应该是刚好有50分他认为的送分题，和50分需要思考的题目。他认为大部分同学应该前面的送分题都拿到，后50分需要思考的题目可以做到一半的位置。但我上一期评课已经说过了，从结果上来看，由于一些原因第六题的第一问和第二问并没有成为送分题，甚至于出现了只对学过线性代数的同学送分的现象。当然，谢助教改的第三题也发现了很多同学非常严重的基础问题：有同学认为单叶双曲面就是两个圆台拼接在一起，甚至还有同学给它起了很多奇奇怪怪的名字，比如什么圆锥双曲面、圆锥曲面、椭圆双曲面、类似花瓶面，可以说是非常抽象了。所以我觉得也有很大一部分原因可能也要在同学们身上找。

所以这期评课接下来我想来写一点可能大家更爱看的，没那么悲观的，关于这门课内容上的一些我认为是好的变化，以及一些王老师上课的细节。

首先我要说明，王老师和申屠老师具体风格上显然是有不小差异的。具体的差异可能我水平不太高，比较难用语言来描述。我要特别提到大家对数学目前存在着左右两种观点。有句俗语说是有三种数学家，一种是Boubaki式的，一种是Poincare式的，还有Hilbert。用大白话翻译就是第一种数学家持有是形式数学的观点，第二种数学家持有是内禀数学的观点。当然这更像是一个一维的体系划分，实际中有人可能也位于比较中间的位置。这两种不同的观点下对于怎么去写数学是有不同的看法，粗略来说虽然两者都有共同的追求，前者会认为我们需要严格写出一些定理以及完整的证明，含义的解释应该放在后面；后者可能认为需要先展示一些例子，启发我们去写严格的数学。我自己可能更偏向后者。申屠老师某种意义上也可能略偏向后者。但实际上王老师和我说很多同学最简单的欧氏空间的一些东西都是无法想象的，需要也需要很多前者模式的教学来规范同学们的思维。当然实际情况来看就是可能高中的锅被甩给了大学，目前的情况来看尽管有至少十分之一的同学肯定是overqualified的了，还有大约七分之一的同学无法使用更多比这门课教授的内容更基础的数学工具。我想科大是这样其他学校应该会更糟。

再来说我个人认为第一个好的变化。首先改成半学期课程后公理化部分被全盘删掉了。这一点从我听到的情况来看几乎所有同学都是对此表示赞同的，因为这部分内容有点过于冗长而且会让人第一次读起来有点难受。这部分似乎是王作勤老师希望体现的Hilbert形式主义精神的一部分。据说当时整本教材的内容都是王老师和盛茂老师争论数次后才妥协成现在这个样子，所以可以看出王老师是真爱这部分内容吧。不过历史的介绍王老师仍然坚持留下了一节课，介绍一些历史和古代欧氏几何的发展。

第二个好的变化可能是删掉了仿射变换下二次曲面分类的一些细节的证明。这部分可能属于传统解析几何课程的范畴，也可以说是某种历史遗迹。同样的原因，由于证明过于冗长，而且只是一个分类定理，本质上似乎就是一个二次型分类，证明过程中也没有任何出人意料的事情发生，花很多时间介绍肯定是不值的。

第三个变化我不知道算不算好的变化，隔壁班因为课时不够删掉了很多射影几何的内容，也包括删掉了交比。王老师多了一节课所以可以再讲点交比。但这也意味着射影几何在本学期课程中只剩下了射影坐标和什么是射影化这两件事情。我个人是认为这体现不出射影之后的优越性了，当然大家也可以发表自己的看法。

王老师上课的细节大概是这样的，他会把一个概念拿出来，然后以不同的角度来解释一个核心概念，这是我非常喜欢的。比如在几何与变换那一节。他会用不同的方式反复解释可以怎么去理解Erlangen纲领中的这种对应，可能还会拉一个大的sheet，比如列上刚体、等距、相似、仿射变换，然后再去解释那些量被保持了。当然王老师这个反复过程往往比较长，可能两节课都在干一件事。但王老师在举例解释的时候，也会很有分寸。即便对于我认为需要更多不属于这门课的例子才能让同学们理解的概念，他也尝试解释概念的最简单的baby version，就像上面那样。我个人怀疑的一点是，这样可能会导致一个问题就是大家会觉得例子似乎只有这么多，那么引入这些概念的意义何在。这让我想起了陈小伍老师的近世代数课程，如果你是听这门课的群论部分学的群论，那可能在你的眼中非交换群就只有S_3、A_4、S_4和D_8，我个人反正肯定是强烈反对这种叙述方式的，因为最简单的非交换单群A_5甚至没有资格出现在一门群论课程当中。当然，具体要介绍多少例子，就是一个尺度的问题了。

最后我也补充谈谈，对于我自己的助教工作，我不得不说我确实花了过多的时间，作业也好习题课讲义也好改卷也好都是这样。比如改卷工作上王老师是这么跟我说的：许多同学都不认真写答案，你何必要认真看呢？可能也是我没有经验，平时和一小部分同学交流习惯了，脱离实际情况了。但我还是希望坚持这种比较慢的模式，保持一个相对的公平和交流渠道，即便可能浪费了我绝大部分的时间，但如果我写的东西或者是极为认真的改卷有那么一小部分人看了并且能够对他们有所帮助，可能对这门课就会起到一定的正面的推动作用吧。

也非常感谢选课同学一学期的付出。虽然我可能不认识一部分同学的脸，但是他们写下的东西给我留下了很深的印象，我能够记得几乎每一个我改过作业的同学的特点，我这里无法一一列举出他们的名字了。当然，在三十个小时的改卷中，那些让我改了两个小时的同学也给我留下了永不磨灭的记忆。也有很多同学课后问了我很多问题，有很多也很有趣，我也认真回答了。

当然可能还有一部分同学未来是肯定不会去做数学的。但我希望对于这部分同学，多年以后，也许你回想起你的大学时光，这门课带给你的记忆并不会很深，但至少你曾经见证过年轻的火箭上课是什么样的。王老师也不可能永远年轻，也不会一直教课教下去，也会有老去的一天。当火箭落回到地面上的基地不再起飞的时候，人们也许还会记得它发射时璀璨的样子。

最后，谢谢大家！

1.18评课：

作为这门课的助教，刚改完卷子来评课吧。首先我要说明一件事情：我并不客观中立，我就是来发表我的个人观点的。我很认同王老师和这门课本身，但我更倾向于认为这门课的内容和教学模式仍然需要一定程度的改革。但如果我下面说的事情有事实性的错误，欢迎批评指正。

先说一下作为一名课程助教，我最大的感受就是改作业和改卷子都挺折磨的。先说改作业。王老师布置的作业相对是很多的。王老师自己是这么跟我说的，虽然这门课只有2学分，但这是半学期的课，所以他要按照4学分的量布置。我们举个过去王老师的课的例子，24秋的拓扑学王老师一周布置两次作业，一次作业会布4道题目，每道题目都可能有若干小问，小问之中可能还有多个问题，而且有一部分可能更有探究性；而23秋和25秋的陈杲老师的拓扑学课则是一周布置两次作业，每次作业只有两个比较简单的题目，多数直接来自Armstrong或者是经典验证了。在第四次作业中，王老师布置了一些他认为的传统解析几何习题。带来的后果是，一共有9处计算，我在改作业的时候看到了大量的错误。整个改作业的进程断断续续持续了一周，因为大一的同学们交作业的时间也不太固定，有的人可能周四刚布置作业周四周五就交上来了。当然，这可能也是由于大一的同学们工作认真负责，所以错误还很多，但我就比较惨了——有同学9处错了6处，为了不影响他的平时分我还让他重交了一次（当然事后他告诉我是因为他当时有重度感冒）。其他几次的作业改起来也不是很轻松，大家交作业的方式也是五花八门。然后今晚刚刚改完了试卷。整个期末考试的试卷我只负责改最后一个证明题。隔壁班好像是申屠老师亲自来改最后一题，我也听到了据说80%的人被给0分之类的传闻了，我也没有去查证这个消息的真实性。当然这是我第一次改，本着认真负责的原则即便是对于那些看起来像是伪证，甚至完全不知所云的答案我也逐行逐字的阅读并尝试找出错误。当然这也意味着花了很多时间。一共改了三十个小时才改完快一百五十个人的试卷，也就是平均下来一小时也就能改五个人的题，有的同学甚至一个人就占用了我两个小时的时间，虽然不知道这个改卷时长会不会绝后至少应该也是空前了。同学们的答案和我想象的还是不太一样，不知所云的答案其实占据了改卷时间的绝大部分。有些同学可能是写下来的答案很混乱，或者有些小的跳步，或者有些不合理之处；但还有一部分同学，写下了几乎无法阅读的答案，甚至可能不包含一些数学，即便在我仔细地检查之后也无法理解在表达什么。正因如此，我也认为王老师开设这门课某种意义上的目的之一没有被达到，也就是教会可能刚入学的大一新生如何去书写一个数学意义上的严格证明。当然，王老师自己的风格就偏向Bourbaki这种严格的风格一点，而我本人就相对反过来，如果是我的话肯定不会去过分追求这一点，但有一点我和王老师应该都是赞同的，哪怕证明不严格也应该有一个好的书写，而这恰恰是很多同学的答案甚至无法满足的要求。我自己也在反思，改完卷之后，王老师也吐槽说我平时字写得还大，老师们恐怕改起来也有点阅读障碍。当然王老师还对我的改卷给出了一些其他的要求，比如有一些同学的答案可能因为王老师的要求无法得分，即便数学上是正确的，我也觉得比较可惜，因为什么能用什么不能用某种意义上对于一个考试来说是很难说清楚的一件事。当然我也能理解。最后的结果是最后一题的平均分有4.6，应该来说还是比较高了。我之前对王老师班的同学说希望你们的期末平均分比隔壁班高1分，现在是2026年1月18日，查卷之前的平均分就来到了65.12，而隔壁班即便在查完卷后也仅仅是62.85，那现在看来那肯定也高出不止1分了，应该来说很大一部分同学还是对此作了贡献的。所有同学的卷子上我都作了大量的批注，有的同学可能是十几个有的可能写下了一百多个字的关于王老师给出的给分标准和对他证明的一些漏洞的指正和若干补充。

这就要引出下一个话题，就是王老师开设这门课程的另一个目的，可能也并没有达到。王老师在出卷的时候对他的最后一题非常满意，有着一种谜之自信。当然这里我用这个词不是什么贬义，因为王老师就是一个对自己的这些想法很自信的人。王老师觉得尤其是最后一问，可能某种意义上把整个题目推向了最高点。王老师自己希望最后一题能够满足：某种意义上运用同学们的几何直观，同时不是一个课上出现过的定理的直接推论，同时又会让使用线性代数的同学也不那么轻易做出。王老师特别反对一部分对这门课需要学过线性代数才能学好的说法，所以他想要借此能够扭转这一格局。实际情况是最后一题的三问中前两问并没有什么送分的属性。事实上由于题目的表述原因，许多做这第二问的同学都在这里拿到了0分，很多同学在试卷上证明的结论根本不是题目所要求的。我说的这些同学并非个例，事实上应该在做到这道题的同学的半数以上。做第一问的同学，拿分的同学也大部分是通过纯粹的线性代数暴算来完成的，没有使用什么所谓的几何直观。虽然有几个同学使用了更接近几何直观的方法，但毕竟也是少数，而且这其中又有一部分可能还和王老师自己思路差异很大，有一位同学即便思路与王老师自己的做法基本上一致但由于表述不同差点迷惑到了王老师认为是错误答案（不过最后还是被救下来了）。第三问又有很多同学并没有去进行实质性尝试，但我个人认为这是很奇怪的，因为第三问本质上就是一个具体算出的第一问，我并不赞同王老师认为这一小问是点睛之笔的观点。这导致了整个评分标准存在一定程度的失调。同时可以很容易看出，了解一定量线性代数对于期末考试的优势是相当巨大的，这个目的绝对是没有通过这次的出题实现的，该送的分也因此没有送干净，这道题的平均分还远远低于第一问的分数7分。当然王老师可能自己觉得卷子出的还是太简单了。他自己是这么说的：压轴题应该让三分之一的人去尝试，剩下三分之二应该多少是做不到这道题的。

期末改卷的时候也看到了很多让我眼前一亮的答案。有同学在找旋转中心的过程中使用了旋转相似组互推的方法，非常的优雅；甚至还有同学使用了完全四边形的密克点来解决（可能本质上和前一个同学差不多）；当然也有人用作业答案中我们提过的Cartan-Dieudonne定理的方式来做的。在此我也要特别感谢这些同学。

在这期评课的最后，我想要提几个问题。这门课最早是盛茂老师和王老师共同发起的改革。改成了这个样子到底是不是比过去的解析几何课程好，这个我不想讨论，留给大家自己作判断。但我还是特别想去将两个问题留给大家讨论：因为这门课现在改成半学期的课本身就是因为上一级学生抗议的结果。那么第一，你认为这个课程是不是应该进一步削减教学内容：如果是，那么还要削减哪一部分；如果不是，那么接下来还是否应该恢复成一学期的课程。第二，还有很多同学因为没有学过线性代数，因此确实客观上仍然在一些题目中吃亏。而如果按照王老师的逻辑以及目前课程的情况来看线性代数并不是此课程先修课程，这似乎应该被认为是一种不公平现象。那么你是否赞同这样一种观点，线性代数(A1)或者(B1)应该转移到第一学期来上？

以上就是评课的全部内容了，也祝大家春节快乐，谢谢大家！

转院人的第一门数学课；深夜补录播，看到名场面了，躺在🛏️有感而发。

听了没几节课，到线性空间的时候，就基本成为🚀迷弟了。火老师的课我是要倒带（拖进度条)的，虽然经常事后诸葛亮发现东西很基础，但是如果想跟上🚀的思路，学习过程中必然是要经常反复琢磨的。当初是冲着大家说代基很难而决定先学几基，现在看来🚀把这门课提到了不属于它的高度。

然而“难课”是不会引得我为一个素未谋面的老师写如此长评的，真正震撼到我的是🚀老师的高占位以及他对此清晰无比的讲授。这一突出优点可谓前人之述备矣，我只是很想从主观角度再把它描述一遍。从向量几何中纯粹的几何推导，到引入代数化的动机，再到代数表达式的发展、变形、引入矩阵，最终从“高等”的代数出发建立以群为基础的几何代数化模型，🚀的整门课就是一条通向“几何是什么”的坦途，即使偶尔你会走到弯弯绕里去，最终回过头来看，不过是走了一条折线到达终点，而回首凝望时，一切都是如此简明清晰。

下面是输出个人情感的一小段

我认识的学长里数院的跟其他院的加起来差不多，之所以等到春季学期才决定转院，一方面是彻底受够了做一些事，另一方面也是早早知道了数院的艰辛以及数学专业课特别的难度。但几乎是🚀的课最终把我推进了这个大坑（笑）里。毕竟学业在大学里往往并非最重要的，却容易占据主要的时间。对待真正重要的事情（在我这里是诸如乐队一类的事情）时我习惯三思而后行，这一次我太想任性一把了，如果非要学点什么的话，我只想学这样的数学。

希望日后那个不得不追逐一张废纸和上面的一些奇怪小数的我，还会在某天躺在🛏️上，再回想起这种被理论的美震撼的感觉。是的，理学本身是没有美的，理论的美也不取决其是否高妙。这种美来源于人思想的交互。我个人认为数学是研究由概念生成的“另一个世界”的学科（只是目前的“认为”罢了），在火箭的课上，我能看到人用自己的思维把这个世界构建得令人满足。

最后贴上开头提到的名场面，正适合以此作结：

”火箭是干什么的，火箭是带大家上天的。上天干什么？上天你能看到更大的风景。而我们这门课其实就是在做这样一件事情。”

“定要摘到，属于我的那颗星！”——星见纯那

十分推荐选这门课。

首先，即便这门课的名字叫几何学基础，它并不要求你具备太多中学的平面几何知识，只需要知道一些基本的、中学课本上有的结论（其实绝大部分的内容连这些知识都不需要）就能顺利完成这门课的学习，可以说零基础也不会跟不上。

课程内容丰富，连贯性强。整门课学下来能对几何学的发展有一个大致的了解，在学习几何同时还能学习到很多其他内容，比如线性代数、群论的一些知识以及一些研究数学问题的方法等等。当然，这门课的学习并不需要你提前学习线性代数以及其他额外知识（本人便没有学习），但据学习过线性代数的同学说会对线性代数和本门课程的某些定理和结论有更加深入的认识。

🚀授课也十分有激情。上课的感觉就像是和数学、和🚀在对话。🚀能把一些复杂的证明背后的思路讲的很明白，也能把证明定理的动机、定理的应用阐述清楚。值得提醒的是🚀的讲课速度很快，需要同学们紧跟着他的思路，有一次睡了20分钟一抬头四面黑板的内容都更新了（（但只要跟上🚀的授课，你会觉得整个思路十分自然连贯，听完一堂课会有意犹未尽的感觉。

作业方面，形式一般是几道必做题+几道选做题。作业题目数量一般不会很多，但是思考量很足，可能会耗费一定的时间，比较难的时候一周的作业可能需要三四个小时左右。选做题虽是选做，但其中也不乏有意思的题目和结论，可以适当看一看（事实上这本教材上的题目个人感觉质量都很高），更详细的作业情况可以看一看课程主页（几何学基础 (ustc.edu.cn)）。作业要占平时分，有错误会被扣分，但每次作业30满分平均分也都会有29左右，只要有交上作业就无需担心平时分的问题，不会和别人拉开太多。

考试方面，期中组织了一次小测，1个小时的时间以计算题为主，没有很大的思维量，但对计算准确度要求较高，算错一个就亏麻了；期末考是2个小时，有判断题、填空题、解答题、证明题。前面的部分计算占比也较多，最后一小题有较大思维难度，做出来的人很少，但好消息是也只占5分，其他的题目只要平时有好好学，作业认真做，应该没有太大的问题。

两位助教哥哥也十分认真负责。作业批改迅速，周二交作业周四就改完发掉，经常在群里看到助教三四点钟的时候对作业的吐槽。习题课的内容也很丰富，除了讲解作业之外也有很多扩展的知识，开阔了视野，而且即便知道这个时间没什么人会来习题课两位助教哥哥也会到场。还能经常看见助教水群的身影。两位助教的工作十分辛苦，感谢他们。

最后说一说给分。这学期给分是作业占30，期中小测占10，期末考占60。在调分之前我刚好卡在95多一点点，听说优秀率超了所以最终给分迟迟不出，还有点担心会掉到4.0。但最后🚀还是没让我们失望，最后的优秀率是50％左右，也是顺利拿到了4.3。

总的来说，🚀确实yyds，选这门课不会后悔

以下是夹带的私货。

妈的这门课真是太他妈爽了。每次回想起课程内容的一些精彩部分和一些贼几把妙贼几把美的定理都他妈会有射精般的快感，我他妈这是怎么了

一年后来更新下观点：中科大第一学期对数学方向同学的数学课安排略显松散，具体表现在：代基可以被必修课《近世代数》高级替代，几基提供概念背景动机（如用曲面分类引入相合变换）的作用在基础课程（如线代）中并不大，射影几何和拓扑简介也仅仅是比较粗糙的介绍（事实上拓扑学只有两个方向必修，这些同学如果按目前培养方案是大三修，到那时恐怕早就忘光了）；另一方面代基几基这两门定位尴尬的课却共有6个学分，和数学分析相当，有些失衡。与此同时数分线代系列都要大二上才结束，导致大二上剩下的必修课只有微分方程，这个进度是比较慢的。对大多数同学来说更好的安排是第一学期直接上线代而不是目前这两门，不过这只是一种设想罢。

学这门课的初期可能会觉得东学一点西学一点，到了后期真正的主线才会昭示，应该说整个课程很完整连贯的研究了古典的一些几何。的课堂充满激情，语速倒不是太快但是每一句话都在推进新的内容，所以不容走神。课上可能没时间讲例子，不难验证留作习题。

我是隔壁陈老师班的，来这里是有别的事要干（当然王老师课必然是10分）。

我想对教材提出一些意见。就这次的教材本身，我觉得已经是非常好的水准了。（隔壁班的）王老师写的教材还是非常值得品味的。但有一些地方我觉得还可以再改进，更上一层楼：

• 一是证明保持原点不动的刚体变换必有不动轴的证明，书上较为突兀的直接扔出了一个行列式，说它必然等于0。私以为，其实这个定理有着浓厚的线性代数味道，算是特征向量几何意义很好的一个诠释，这个证明可以改成更加线性代数的证明，并对特征向量进行一些说明（陈老师上课时就用了线性代数的证明，停下来感觉非常不错）。
• 二是我认为投影变换有点冗余，而且记号有点复杂，私以为可以不讲（当然可能是我的理解不够）。
• 三是拓扑那一部分讲得还是太过不严谨了，至少本人完全没有看懂书上在讲什么，陈老师上课我也只听懂了三角剖分。当然这一部分更多是科普性质的，要求没这么高就是了。
• 四是感觉刚体变换那边，探究点变换和向量变换之间关系的时候，可以用上群同态同构的观点，可能更好。

希望这门课越办越好吧！！！ 

少院大一秋限选表里面有几基这门课，当时出于高中数竞时期对几何的兴趣就选了这门课，选课时盲选了火箭的班，现在看来这个决定太正确不过了。这门课绝对是我大一上学期收获最大的一门课，极大地开阔了我的数学视野。

首先从课程内容本身而言，这门课先从希尔伯特公理体系开始，再引入平移、对称等基本几何操作，进而自然地引入了“变换”这一核心概念。在这之后，整个课程主要都是围绕各种变换和对应的变换群展开的（这也对应了火箭在这门课上对几何的主要定位：感受埃尔朗根纲领中变换群的核心地位），先是在欧式空间这个最熟悉的背景下研究了坐标系、向量运算等代数操作，再将其与刚体变换结合起来，用矩阵这种代数语言来处理几何问题，然后引出了平面/空间解析几何，用矩阵的线性代数性质探讨了二次曲线和二次曲面的分类（这里可能是这门课程中几何与代数联系最紧密的地方，也充分印证了在讲义引言中所提到的“为学习线性代数提供充分动机”）。在初步熟悉了矩阵语言之后，继续利用矩阵来刻画相似变换群、仿射变换群等，发掘不同变换群下不变的几何性质。之后，通过无穷远点的引入，进入了射影几何的领域，这里也是课程的重难点，在定义了射影坐标、等价类等基本概念之后，我们发现了射影变换下RP¹上的不变量：交比，并利用透视投影在RP²上的共线四点也定义了交比，最终给出了射影变换的最终刻画。

总体来说，这门课程循序渐进地对几何的变换群思想进行了介绍和初步应用，除此以外也介绍了球面几何、拓扑学等学科的基本概念，在涉及了初等几何的方方面面的同时也做到了有条有理，一遍学下来之后会感觉很有收获。

第二，由于我是少院非华班，所以这是我大一上学期唯一能和数院人进行接触交流的课程，在平时课程群的各种讨论中，我开拓了对数学这一专业的视野(见证了无数巨神的恐怖）  ，对数学专业有了更为清晰的认识，也是这门课程进一步让我决定走数学这一条路。

第三，火箭绝对是科大最好的老师之一，他能做到一次课一个半小时从头到尾高强度灌输，几乎少有停顿和闲话，语速也很快，足见火箭备课的认真程度。每次课后火箭也会在个人主页上给出一些高质量的习题，很多是的概念的验证和讲义上一些定理证明的思想的运用，能够有效地帮助巩固课上学过的概念和定理的证明梗概，只是每次作业都做得磕磕绊绊，往往几道题要想个半天，也许是我太菜，但我想以后数院其他专业课的作业应该也会是这样，在火箭这里就算是适应一下以后的节奏了。此外，火箭的个人主页上也有很多高质量的讲义，是自学的很好的材料，也有助于打开数学视野。

最后简单提一下课程的考核给分情况：

平时作业每次满分30分，十几次作业取平均得总评的平时分，占总评30%；

期中有一次小测，难度不大，主要考察基本计算和概念辨析，占10%；

期末考试更加综合，有判断、填空、计算、证明（ps:火箭在判断、填空上都多加了一题，给了一题的失误空间）（pps:火箭往往会在卷子上设置一道难度较大的题目，22年的考试在最后一题最后一问出现），占60%。

期末卷面出分之后助教公布不调分情况下40%的线是86.3，群里都以为要向下调分了。我平时分大概29点几，小测满分，期末91，本来以为铁定4.0了，结果今天一出分发现居然火箭给捞到了4.3，只能说：火箭，永远的神！以后有火箭的课必须要选！

（附出分后火箭的话：各位同学，很抱歉成绩出来得比较晚。在陈老师和我的共同努力以及学院领导的支持下，成绩最终被审核通过了。我们班最终优秀率约50%（但非常遗憾的是还有好几位84分的同学没法上调到85）。不管怎么说，成绩的高低只是一时的，重要的是大家在这门课里学到了什么（具体的知识、看问题的视野、数学的演变等等）。但愿同学们会因为这门课所学到的内容而记住或者喜欢这门课。如果对这门课有任何想法，欢迎来我办公室跟我单独交流。祝大家在后续的课程学习中都能收获满满。））

最后的最后，附上火箭的一张图：

        老师10分，王老师讲课讲证明的时候很清晰，会用很多例子来帮忙解释证明，对于我这种刚接受几何课程的大一生很舒服。而且条理很清晰，有时候下课也会问学生上课速度咋样。作业比较多，⅔的必做和⅓的选做，一次大概3个大题，感觉如果只是考试只做必做题就行了，但是选做题有一些很有意思，也有一些比较深刻的结论，有时间的话可以做一做。王老师的课上有两次小测，但是会提前通知，会提前发题型和示例，小测的时候就是改改数据而已，写学号名字就是一半的分。

        这门课程本意应该是想让大一的学生接触一些公理化的意识，王老师也强调了这门课不需要线性代数作为前置知识。但是今年改革，删去了公理化和射影几何的交比，以及拓扑等知识，课程以解析几何和射影几何为主，而且老师也同意大一小登使用线代知识，感觉期末考如果掌握线代知识的话做前置题会非常简单（例如2的（1）是有变换公式的，4是直接用矩阵，而且课程中好像没有提到三阶矩阵怎么求逆。）就感觉和这门课的初衷有点违背了。

        期末考当时考完觉得很难，幸亏杨助教第六题改得很认真给了我们一些分数，以及剩下两个助教前五题稍微放了些水，最后拿到一个还不错的成绩。

        总得来看，这学期的这门课教给我的知识还是一些线代的入门知识，但是老师确实讲得很好，遂给10分。

    本来不需要上这门课，但对几何学基础的内容还挺感兴趣的，而且抽到了王作勤老师的课，不舍得退，所以还是来上了，收获很多，庆幸自己当初选择留下了这门课。当初为了防止被数竞大佬卷爆，伤害到愉快的上课体验，特意问了问数竞的同学学过数学竞赛在这门课有多大优势，得到的答案是0。

    没什么资格谈论课程设置，就随便说说感受了。久仰“火箭”大名，但实际听下来觉得语速还好，王老师上课行云流水，少有间隙，一气呵成，真的如火箭一般一直在天上翱翔。听有的同学说前几节课内容太简单睡了半节课，但我很享受这种严格的数学证明的过程（尽管因为删了公理化，所以很多地方还是依赖于直观，但这种程度对于这门课来说我觉得恰到好处），听课的时候基本上很难会有空挡拿出手机干点别的什么事，一直沉浸在王老师的讲课中，手仿佛自动地记着黑板上的笔记，在课堂上获得心流体验的机会还是很难得的。高中语文老师说写作文要有密针线，那这门课的密针线仿佛就是被升维，添上了无穷远点（误）。最后我也得以开阔了对数学的认识和视野，收获很多。当然可能会有不少同学会觉得我说的有点夸张，这个也有我没什么前置知识，没学线性代数，所以是“初见”的原因在，实际上可能还是因人而异。但无论如何王老师的课显然是非常优秀的，很值得听。

    至于给分，现在还没出总评，理论上作业占30，两次小测占10，期末60。考前助教说，王老师教学这么多年以来，没有人在他的考试上拿过满分。考的时候倒是觉得卷子题量和难度还行，在前面两道送分题犯了大错，耽误了很多时间的情况下，后面写得还算顺利。只不过大概确实是浪费时间后太急了，分类讨论成了大漏勺，求逆矩阵还忘了转置（悲）。最后前面白扣10分，如果正常算应该要被卡绩。不过相信王老师的给分。

    最后附上一点算不上语录的印象深刻的几句话，也许算评课的传统（？）（背景：参数表示的平面一般方程有诸多麻烦，于是消元寻找简洁形式）

……算上两个小时后，这不是结束，而是开始。这时候就发挥人类事后诸葛亮的特点了……，你会发现这两个小时的计算根本就没必要算。

    同样地，学习完几何学基础后，这不是结束，而是开始。尽管我以后在通修课之外大概率不会再选数学课了，但我想，这门课维持住的我心中数学的火苗，会在接下来持续燃烧下去吧。感谢王老师和助教们的付出，也祝大家一切顺利。

你知道吗: 学生在考试里面超扣分的十二条, 看看你中了哪些吧

1. 1≠1
2. 1+1≠2
3. 空间双曲面有单叶双曲面和双叶双曲面和单双叶曲面
4. 验证群的结合律, 单位元, 逆元素和自反性四条
5. 二次曲线有五个无穷远点
6. 三维空间由x轴, y轴, 虚轴分成6个部分
7. z=2=7
8. do~re~mi~fa~sol~la~si~do~~
9. 直线被包含在一个圆环内
10. 由厚式得可能的情况为: 圆锥曲面, 圆台柱面, 圆, 椭圆双曲面, 椭圆椎面, 单叶双面面, 圆柱测面, 稚体
11. 若AA'//BB', 设P=AA'∩BB'
12. 花瓶, 沙漏与不知道叫什么名字
    FINAL：　内!　积!　一!　定!　要!　是!　数!!!
    (以上内容均改编自现实案例)

想了想应该从哪方面开始写。决定单纯从个人角度出发写个评课。

首先是对课程本身。几何学基础这门课在刚上大学的我看来有点抽象……主要是学过之后回忆一下真的不记得具体讲了什么。希尔伯特公理是肯定背不下来的，好在考试不怎么考，即使考也是判断题。然后是刚体。后面记忆最清楚的是二次曲面的内容，在后面学线性代数的时候还用的到，主要偏计算，是我喜欢的东西。后面的射影空间则忘光了。

关于王作勤老师。王老师讲课很好，人也很好。讲课很有意思也很有个人特色（就是我经常跟不上）。数院很多老师是听课就知道水平很高的。由于没怎么主动交流过，能知道的也就这么多。

关于给分。本人期中尚可。期末由于后期跟不太上课堂常常走神玩手机，连亏格都不会算，最后3.3。大概是个人问题。与均分对比不知。

很好，爱来自USTC。

之前有自学过一点射影几何的内容，但比较肤浅，也没有系统的学习。

这门课给了我很多看待旧知识的新角度，也学到了挺多有趣的内容。