退休前最后大更一波（之后不定期更新）：

20秋修读本课，22秋、23春、23秋担任本课程助教，课程信息和各类资料都在本课程主页：USTC 概率论课程主页，对概率论方向有兴趣者可参考本修课指南的“课程之外”及课程主页的“阅读材料”部分，也欢迎和我交流。以下是本课程修课指南：

选课建议：

先简要分析两个学期的情况：

秋学期相对选课人数偏少，且选课的学生基数平均水平要较高于春学期的平均水平，外加充分不必要条件：提前自学/现学现用实分析。硬件方面难度较高。但另一方面，相比春季学期来说，课时安排和节奏都比较合理，整个课时是一共15周+每周4学时。更重要的是，对想提前了解接触概率、统计、机器学习(AI)等方向的课程/研究且学有余力的话，在秋学期提前选修概率论是非常鼓励的，概率论算是这些方向中最基础且最重要的课程之一，且在之后的学期可以提前进行相关方向的课程学习及科研。

春学期修读概率论算是按照正常培养计划进行，但是课时安排和节奏都不大合理，整个课时是一共12周+每周5学时，期中、期末考分别放在第7、13周，当老师讲后半学期内容时大家都在a.e.准备各种期中考（经典期中连期末），以至于多数学生没有较充分的时间消化课堂内容，而实际上刘老师讲授的概率论内容和考试风格导致这门课并不容易突击速成就拿到绝对高分。整体上讲，春学期的学习效果来说远不如秋学期。

尽管秋学期选课水平一般来说会好一些，与之对应的是秋学期给分情况整体来说一般略好于春学期。不过仔细想想，一个3学分的课程，按3学年绩点算算，成绩差一档也就最多差出0.01的g。适可而止是一种明智的生活态度。

综上大体给个建议：对想提前了解接触概率、统计、机器学习(AI)等方向的课程/研究，同时已修的数学课总评大部分都在85+或者不太在意绩点的同学，更建议秋学期选修概率论；对在意成绩且未打算选择概率、统计、机器学习(AI)等方向，或者学习上本身非常吃力的同学更建议春学期选修概率论。其他人就投硬币吧（×

课程内容:

对应教材内容：Grimmett, Stirzaker: Probability and Random Process, Chapter 1-3, 4.1-4.10, 5.1, 5.6-5.10, 7.1-7.6.

这本教材的特点是门槛低但不失深度，主次把握比较好，组合（≠摸球）味道较浓，习题特多不过不少题目都能学到东西，适合恰饭。

课程目标：在指标集为N下引入概率公理化并探讨随机现象，终极目标是得到随机变量列独立同分布情形下的中心极限定理(CLT)和大数律(LLN)以及独立不同分布情形下的中心极限定理。

结构上看，``概率论=实分析+独立性和相关性" 。首先，整门课程从一开始就引入概率公理化，然后建立随机变量并探讨其各种性质。因此，概率论中有一部分成分是“测度为1的实分析”。但同时我们必须声明，概率和实分析相比最独特的地方在于，概率论独有的“独立性和相关性”的属性在实分析中并不具备。换句话说，概率测度是在样本空间“\Omega"上定义的测度（输出值为实数），随机变量的定义是Borel实值可测函数，从样本空间“\Omega"映射到实数域上。在概率论中，我们当然关心输出值的信息，这和”有限测度的实分析“没有本质区别，但同时我们也关心输入值“\Omega"的信息，这里面就具备丰富的”独立性和相关性"属性。而在实分析中我们并不太关心输入值的信息，这应该是概率论真正区别于实分析之处。

Probability Theory is Measure Theory with a Soul. —— Mark Kac

内容上看, 我们先给出本课程讲义每章节的outline：

1. 基础概念：

本章内容一开始就正式引入概率公理化，给出概率空间（包括概率测度）、随机变量和分布函数的定义并探讨其各种性质，以及古典概型和高级版本的摸球：在实际问题中通过条件概率及其衍生的方法来构造概率模型并解决问题，例如通过条件概率得到递推关系时，从而转化成递推数列问题。这章没有比较困难的知识点，但同时注意，一定要深刻理解上述概念。请思考：随机变量相同与随机变量同分布是否等价？

2. 离散型随机变量：

一方面，我们探讨了常见离散型的各种性质以及期望方差的相关计算；另一方面我们仔细观察，整章内容都在围绕"计数"问题做文章，而不只是单纯的“摸球”。解决问题的工具比如有：

1）概率方法：常适用于存在性问题，在确定性场合下对实际问题引入随机性，从而转化成概率问题；

2）示性函数/随机变量的分解：常用于求矩，当然也可以用于求分布列（P(A)=E[I_A])。在这个方法中，期望的线性性得以施展拳脚，从而大大简化计算；

3）条件期望：首先必须注意，条件期望是随机变量而不是数值。类似条件概率，我们可利用条件期望得到递推关系转化成递推数列问题。当然，条件期望也有很多性质类似于期望，方法处理不唯一，这里不做过多叙述；

4）母函数方法：作为一类幂级数, 有许多好的性质以便于处理, 比如用于对较复杂的递推关系（例如多重卷积）求解，也常用于求随机变量的矩等等。但是该方法有很大局限性，只适用于非负整值随机变量。

另外，随机游走中也有一些有趣的结论，以及协方差的双线性性，同时协方差可看成给定空间的一个内积，把两个随机变量看成两个“向量”，相关系数就是两者的夹角。因此随机变量二阶矩估计下投影点即为条件期望（学过泛函就更好理解），通过已知的信息做到最好的估计（参考习题课讲义例1.18）。

3. 连续型随机变量：

常见连续型随机变量各种性质及概率对象的计算务必做到熟练掌握，学会利用密度变换公式等进行计算。另外，一定要熟练掌握多元正态分布的性质：

1）多元正态分布可以通过均值向量和协方差矩阵唯一确定;

2） 多元正态分布做任何线性变换后仍是多元正态分布. 

3） 随机向量服从多维正态分布，那么这个随机向量的某一部分所满足的多维正态分布可以直接由均值向量和协方差矩阵中的对应部分决定(打洞);

4）多元正态分布独立性与不相关性等价;

由此可见，多元正态分布具备非常好的结构，以此还可以衍生出多元正态分布下Wick公式等性质。

4. 大数定律（LLN）：

我们重新对一般随机变量定义期望，这本质等同于实分析中Lebesgue积分的建立。三种收敛定理及Fatou引理这些工具常用于随机变量的收敛性证明中。之后我们引入四种收敛的定义，并探究四种收敛的区别与联系，再借助各种矩不等式还有强大的Borel-Cantelli引理等工具，结合截尾术和子序列方法等技巧来得到本节课最终目标之一——强大数定律。强大数定律描述了相互独立的随机变量在满足一阶矩存在下, 随机变量和的平均几乎处处收敛到其均值. 从哲学角度看，确定性与随机性是辩证法中矛盾的对立统一，并在一定条件下向着对方转化。

从这章开始难度大幅上升，一定要消化反刍这部分内容。复习的时候结合学过的实例要能够做独立总结各种收敛性的可行方法。尤其是强大数律的证明，务必做到复习时能够独立推导一遍。强大数律的证明方法众多，这门课讲的证明是由Etemadi于1981年才给出的，用到的知识仅仅是简单的数学分析和概率论，而且证明过程非常短，但是涉及到的内容非常深刻，结合了各种工具和技巧才加以完成。由此可见，大二就能学到40年前才得到的知识，可见概率论是多么现代和丰富啊。

5. 中心极限定理（CLT)：

我们把中心极限定理放在本课程最后一章讲，是因为这里用的工具——特征函数最为现代。从本质上看，对于连续型随机变量而言，特征函数和反转公式就是“测度为1的Fourier变换和逆变换”（当然测度为1的Fourier变换和逆变换我们处理比一般情况下方便很多，更容易通过满足交换积分次序条件得到相关性质）。这部分涉及到的计算只要掌握最基本的即可，没必要去特别计算一些神秘特征函数的分布函数。事实上，我们引入这个工具是得到唯一性和连续型定理，但是对应物的具体形式我们常常不能确切所知。这也是特征函数使用的局限性所在。这部分最重要的是深刻理解唯一性定理和连续型定理，有时要结合特征函数的性质。

同样，我们引入特征函数，是为了得到另一个终极目标——中心极限定理。中心极限定理刻画了在二阶矩存在的条件下随机变量和减去大数律项再做合适scaling后会依分布收敛到标准正态分布（波动程度fluctuation项），时间：波动程度的exponent比值是2：1。这门课的中心极限定理包括独立同分布和独立不同分布的情形，对独立不同分布，如果当n充分大时随机变量与期望的间距与（随机变量和的方差）^1/2差不多是o(1)，间距大的部分其二阶矩可以任意小（n充分大时），即满足Linderberg条件时，中心极限定理亦成立。这从直观上看也是符合的。durrett3.4节中给出了特征函数逐点收敛结合其紧性的方法以及矩方法两种办法给出，进阶课上会用linderberg替换这一工具给出证明（暴力美学）。对于本门课而言，学会选取合适的大数律项和fluctuation项验证Linderberg条件即可。

相信大家在学完这门课之后能够证明如下命题：

我们可以用均匀分布生成任何随机变量，同时也可以用一列独立（同分布）的均匀硬币来生成均匀分布。

整体上从内容看，概率论做了这样一件事：除去引入概率公理化，建立随机变量并探讨其各种性质，探讨了很多具体的model及其性质外，在前半学期，我们主要围绕"计数"问题(离散型随机变量)做文章。这里的"计数"当然包括组合意义上的“摸球”，但最重要的地方在于引入一些精妙的工具和方法来解决"计数”意义下的概率问题(比如组合方法、还有示性函数/随机变量的分解，条件期望，母函数方法等)。在后半学期，我们开始探讨连续型随机变量直至更一般的随机变量。除了可以用“微积分”的工具对一些特定随机变量进行计算，衍生出很多具体的model及其性质以及引入一些工具外，最重要的是开始在实质上探讨了随机现象, 得到了一些短小精悍的收敛性结果和随机现象的规律。在CLT中，主要的工具是特征函数；而在SLLN中，主要的工具是Borel-Cantelli引理（当然也包括了重要的技术手段：截尾+子序列方法）。同时，整门课里出现的概念和技巧也或多或少出现“信息变化”的影子：条件期望（这里以转化成递推关系的初等方式为主）、截尾和子序列、矩的阶数估计等等。总之，对这门课所呈现丰富的内容和观点来说，概率论可以认为是比较现代的数学。

最后从时间角度讲，说概率论是大二修读的数学课里最现代的数学再不为过了，毕竟离Kolmogorov的专著pub后都不到100年，Etemadi的强大数律证明方法1981年才得到，，，   

课堂教学:

刘老师在教学是费了心思的，其他评课也备述至极了。老师在保证做到强调概率直观的基础上，对技术细节和证明详略的平衡把握得也很到位，他上课把概率论中最核心最重要的部分基本上都抓牢了，并且各内容衔接很完美。而且老师上课给你一种举重若轻的感觉，有一种潜在的大师气质。每次课就写满一整个黑板再多出一点，笔记内容并不多，但是这些上课讲授的内容好好消化并不容易，而且几乎必须要通过消化才能产生进一步理解。值得一提的是，老师特别喜欢上课和学生互动以活跃氛围，这在科大的课堂上是非常罕见且珍贵的。老师节奏把握也非常到位，给人一种上课感觉很轻松的氛围，不过有一点就是老师前半学期上课还是偏慢了，因为很多知识大家在中学阶段学习都有所接触或初步了解，感觉加快前半学期的进度说不定就可以把之前所说删去的除外篇部分的内容补上去。

学习建议：

概率论本身内容比较杂(包括概率前沿方向研究也是如此，其一直扮演着一个“中转站”的角色), 很多概念初学起来并不容易理解, 以及大部分同学初学概率论都会有``琐碎"之感, 尤其体现在处理概率问题中运用的各种技巧和技术上, 或者没有任何概率直观。如何尽可能解决？

一方面, 请务必做到：

学习概率论，同时做到概率直观和抽象，具体例子与基本概念定理并进！重点理解核心概念和结论，学会带着问题和动机去学习！

rmk：个人认为培养概率直观的一个方法：能够利用学过的知识去多角度地解释一个现象，不必特意追求严谨性。

另一方面，最基本要求是把刘老师上课讲的笔记搞透，有时间也可以通过一定量的习题或找一些参考资料或参考本人习题课讲义辅助以深刻概念和定理的理解，以及熟练掌握分析(包括数学分析、实分析)中最常见最基本的technique，最基本的测度论知识，记忆典型的实例及理解老师提及过的idea，逐步积累消化直至融会贯通，这部分最好能够自行总结搭建框架。我担任助教期间从不少同学的作业和考试中也体现出概念使用混乱, 概率语言不会表述或表述不当等问题，说明不少同学对已学过内容还需要较好地理解。

参考书选取和做题：

中文参考书可参考李贤平的《概率论基础》，实例选取及内容丰富度都不错，另外随机变量列的收敛性讲得浅了些，想了解这部分可能还需要看其他参考书。苏淳的《概率论》最多看看例题就行了，其他内容（包括习题）还是别看了，过于杂糅。。

关于英文参考书，可以参考 Knowing the Odds — An introduction to Probability前六章，跟米特教材风格类似，可读性和连贯度也不错。另外有一定实分析和测度论基础的也可以直接上手durrett的Probability: Theory and Examples前三章（可跳过部分带*内容），以及在学完米特的基础上再想深入了解随机变量列收敛、强弱大数律及中心极限定理也推荐参考这本。尤其二、三两章把随机变量的收敛性，大数律和中心极限定理讲得非常全面且清楚。另外T大吴昊老师编写的《概率论1》课程讲义也不错，这里扔个链接：

清华概率论1课程讲义.pdf

钟开莱那本没怎么参考过，不作评价，不过风评来看应该还是不错的。

对于做题，刘老师第一节课就讲过，学好概率论的一个条件是："干掉教材是的所有习题"然后在其上开了根号，这里开根号值得回味。至少对这门课来说如果要掌握得非常到位，尤其是已确定学概统的同学来说，一定量的习题训练是需要的，但是跟其他课程一样，投入的做题过程需要留意其目的: 要么能够额外收获一些实实在在的知识，要么能对已学的内容通过习题而产生更深的理解。对大二及之后的课程上述两点比“训练纯粹计算上的熟练度和解题速度”更为重要。米特上的精选题以及其他个别也不错的题目值得一刷，但个人认为完全没必要刷完整本米特，因为米特在一些经典的example中也夹杂着不少“次产品“甚至”次次产品“。所以，学习和做题过程中不是什么题目无论美丑都要刷，更重要的是把学到最精华的干货让自己产生更深刻的理解，学完之后哪怕这门课的知识不用也应该还留有一些印象。同时注意学习和做题过程中锻炼自己的taste非常重要，这也是终生受益的。

关于考试：

老师出题也是极具功夫的。不同于管院概率论“摸球”式计算大赛，老师完全不会在考试中特意考察“计算熟练度”（当然自己要具备一定的计算能力），除了简单题及相当量的原题及精选题外，刘老师考试出的新题一般来说都有相当难度，课内内容的深刻理解和技术使用融会贯通是必要条件，剩下就看造化了。同时老师常常会特意选一些非常综合的题目，会用到其他数学学科知识（很喜欢代数、数论与组合），甚至还有一些题目具有物理背景，老师也希望让大家了解概率论在其他数学分支及其他领域上的`渗透"现象。从考试角度讲这点其实是具有争议性的，但是目前来看现代概率论发展和其他数学分支甚至其他领域交叉渗透现象广。所以个人认为出这样的题目总体利大于弊，当然如果在题目设计上做得更到位一些就更好了。

这里我们以2023final为例（个人认为达到样卷标准），之前试题其他人已经流出来了，这里我也放一手：

2023Autumnfin.pdf

当然这份卷具有相当的难度，但抛开难度看，不仅试题重难点考察得非常清晰，而且题目具有相当的灵活度，非常考察对已学内容的理解深度，很多题目方法还不唯一，开放性很强。同时，很多题目的背景都来自其他数学分支和其他学科（如1.数论、3. 统计、4. 高维统计/机器学习、6.随机（偏）微分方程），直击前沿。比如本次期末最后一题的背景来自于随机热方程（stochastic heat equation）的整点离散版本形式，通过此题也可以看出转化后的随机增长函数是independent随机变量结合随机游走系数的线性组合。如果方程再加上non-linear的一阶（局部高度势差）项就是1986年提出的Karder-Parisi-Zhang（KPZ）equation，直到目前这也是现代概率论里非常前沿且open的一个topic。

总的来说这次考得相当不错，均分和中位分均在60上下（虽然改卷放了些水不过还是略高于预期）。最后总评总体也算是对得起这门课的付出，看来22壬有望后浪推前浪。

习题课讲义：

主要以“专题选讲” 的形式呈现。特此说明一下，因为4学分变成3学分而删去的大部分内容都是概率和统计甚至和其相关方向中比较重要的内容及idea, 因此这些删去的内容也补充至讲义中。讲义的编排上主要分为 “基本内容”、“进阶内容”两部分:

基础内容主要侧重于课堂内容的整理或补充, 包括课堂内容的整合加工, 以及对已学过的概念进行适度延伸等, 有助于对课堂内容进一步理解以及知识框架的建立; 除此之外, 还补充了一些基本的工具及从所学内容延伸出的一些方法、technique 或 idea, 这也是我认为大家需要了解的部分.

进阶内容主要侧重于课堂内容的拓展. 一部分是一些既与课内相关度较大, 又和其他领域有一定关联的 “趣味” 问题, 这部分所涉及到的知识点和证明的技术使用往往会比较综合, 旨在让大家了解概率论在其他领域上的一些 “渗透” 现象. 还有一部分是从课内内容出发拓展一些实实在在的知识或方法, 不仅对这些内容有助于更深刻的理解, 同时也跟概统的后续课程起到了过渡和衔接的作用.

习题课讲义可在点评最上方的课程主页里自取。

课程之外：

先科普一下两个比较重要的idea, 希望能对后人概率论学习与方向选择有所帮助：

1. “信息”（可测性）的变化

比如\sigma-代数 F, 可以理解为“所有可以通过随机变量观测到的信息”构成的好的信息类，而一个很自然的情况就是某个随机变量只能观测到一部分信息，为了描述于是就出现了条件期望的概念(习题课讲过条件期望的”投影“，也和此有关)，而把概率放在测度的框架下最大的原因就是为了保证条件期望的存在性。本课讲授的通过条件概率或条件期望得到的递推也是一个最基本也是最初等的刻画“信息”变化的方式，以及在讲到运用markov不等式估计概率偏差大小时，对于随机变量来说, 其矩的阶数越高带来的“信息”也越多 (高阶矩存在直接推出低阶矩存在)，更便于选择合适的矩以方便做概率尾估计，这部分可以结合“矩方法和组合计数”一节一同食用。另外，概率中运用的很多技巧也是概率学家对“信息”变化的深刻理解（像已讲过的截尾术，几乎处处收敛的子序列方法、独立复制与对称化 多少也有”信息“变化的影子）。“信息”在后续随机过程等课程中还会进一步体现出来，具体可以参考

做数学不同方向的人各有什么特点？ - 知乎 (zhihu.com)

2. 寻找普适性（universality）

看下概率论的定义：研究随机现象并揭示随机现象中的结构和规律的数学分支。跟其他数学分支类似，寻找更好的“结构”或规律可以说是几乎所有数学家的一生追求。但是，概率论寻找的普适性相对于其他学科而言，更能通过自然与社会现象而引发出的motivation（或者说驱动力）。我们已学过的大数定律与中心极限定理(已学i.i.d和L-F形式)就是最经典也是最为重要的普适性，中心极限定理+独立增量对应于Gaussian class，呈现比例关系是2：1。另外还有诸如：

• 区域马氏性+共形不变性（统计物理对象）对应于 SLE/CLE class
• KPZ universality class。不仅有时间变量，还有空间变量。对应的KPZ universality class 呈现的是time：space：fluctuation =3；2；1的关系。比如1d  growth model对应于Gaussian class，(1+1)d corner growth model 对应于 KPZ universality class，但像(2+1)d growth model目前差不多就是open problem了
• 随机矩阵谱分布/特征值。关于随机矩阵的特征值的分布，若各矩阵元是正态分布(如 GOE、GUE)这一特殊情形时 ，我们能够将各特征值的联合密度分布函数精确表示出来（可以发现特征值之间存在互斥现象）。在此之后，我们可以运用分析的工具去精确描述特征值分布的极限现象（整体及边界的大数律(LLN)、内部及边界的波动(fluctuation)）。对于更general的非厄密特随机矩阵，相变及特征值的极限现象还是一个值得探究的open problem。

……

可参考 众里寻一：从复杂性中探索普适规律 (qq.com)。由此可见Universality也是一种Universality（笑）。想了解概率论与统计物理与共形不变性推荐了解一下这个专栏：近代概率学习笔记 - 知乎 (zhihu.com)

另外，概率论在其他数学分支及其他领域上的`渗透"现象非常广，这不仅仅从这门课学习以及考试题体现，而是学科特点所决定。引用数学家丁剑教授曾说的话：

概率与其他研究方向有一个很大的不同。许多方向都有一个人人都想解决的大问题或者核心问题，但概率的魅力不在于此。它的生命力在于，很多地方都能看到它的踪影，包括纯数、物理、计算机科学的一些分支，甚至是统计以及很多应用问题。

参考 对话丁剑之二｜理想固然丰满 现实常常骨感 (qq.com)。

另外讲点题外话，在概率论学习及其前沿领域研究中，一些具体model的计算及其性质非常之重要。一方面，很多model的性质非常之好，简单的如对带有可加性的model，其母函数或矩母函数计算上方便，这样以便于精确求解或者便于做一个好的bound。还有像geo,exp（另一个角度也可转化成poisson）这类有无记忆性，可以一定程度上减少“束缚”，相对来说更便于精确计算某一概率对象。当然还有非常好的model就是高斯分布，对于多元高斯分布，出现正交变换等诸多好的性质，当然也易于精确的计算。比如在随机矩阵中，矩阵元为高斯情形时我们甚至可以通过对矩阵的正交变换和换元将 N 阶矩阵的联合分布密度写出，运用分析的工具去研究他们的渐近行为。同样对单个高斯随机变量，可以认为是具备某种意义上的"光滑性"，其性质上的体现就比如矩的性质好、容易做好的bound和Large Deviation、甚至可以以此衍生出好的工具（如具有某种意义正交性的Hermite多项式，stein 方法）等等。

同时更为重要的是，对于概率论学科的研究中，我们的目标就是从本原上就是为了在自然和社会现象寻找探究更好的"结构”或规律（所以概率论作为先验学科更偏向数学），而通过研究好的特例的一些性质还可以诞生出一般意义（一般指general iid或其类似的形式）的conjecture（当然实际上这些conjecture不保证正确），或者说是motivation。比如我们看概率论课程中CLT的发展进程，对于Bernoulli  CLT，主要通过Stirling对n！的转化加上比较analysis的估计而得以证明，在1733年通过demoivre得到，到1901年 Lyapunov，最后到1920年的Lindeberg，经过近两百年，对任何general iid的CLT才算大功告成，现在对general iid的CLT，其证明方法是通过特征函数比较analysis的观点解决。参考：中心极限定理：从1733到1937，一场跨越两百年的传奇 (qq.com)。当然，在高等概率论这门课，还会继续探究这件事情：随机变量指标集为N独立但不同分布，再加一些限制条件后的情形，CLT是否成立。对于LLN也类似，参考：概率论中“强大数定律的四种证法” 【转】 (qq.com) ，不再赘述。
再如现代概率前沿非常火的KPZ Universality conjecture以及和其关联紧密的 integrable probability，在2000年前后可以说是一个重大的breakthrough，因为对geo,exp,poisson等特例的情形都能得到精确可解的渐近分布形式，但是直到现在，general iid还是一个比较open 的 topic，目前还没有合适的工具去研究一般情形，只能做些边角料工作（一些bound estimate 以及 Large Deviation之类等等），希望9902年之前有真正这方面的breakthrough。

最后再补充一些有意思的内容吧（就当彩蛋）：

1. 耦合（coupling）是概率中一个简洁有趣且重要的技巧。我们知道两个随机变量的分布相同并不代表随机变量相同, 也即不代表他们的样本空间相同。而耦合正是借助这个idea, 通过匹配合适的样本空间来达到我们的目标。全变差距离（total variance distance）可以看成刻画耦合程度的一种度量，借助相关性质可进一步探索。以上可参考教材4.12节及耦合（Coupling）.pdf.同时强烈安利一下你科网络课堂课程：王冠扬学长讲授的“马尔科夫链里的耦合方法”。其中讲了耦合及其相关的证明方法，mixing time，以及一些模型的栗子及耦合在其他学科（如统计MLTCS等）中作为算法的应用。耦合的具体实现往往也通过构造某种“算法”/regime来完成，里面的idea私以为是很概率的，比较适合作为本课程的衍生内容。
另外在探究概率模型的极限定理（包括大数律和中心极限定理）research中也常常会用到耦合的idea。一种情况是在一些复杂模型中我们考察的随机变量通常是不独立的，但是相互又有“一定独立性”（离独立的情形非常接近，比如假设 |随机变量-均值| 的矩为O(n)，对m个不同的（随机变量-均值）的矩是o(n^m))，这时我们或许可用耦合技巧或者矩方法等工具解决。

2. 二阶矩方法常用于概率research中进行estimate，亦是组合中常用的概率方法，我们考察一个对象是非负整值随机变量大于0的概率大小，容易知道它不能直接被一阶矩决定，换句话说，非负整值随机变量的期望非常大无法推出其等于0的概率非常小。但如果我们同时还知道二阶矩的信息，则随机变量大于0的概率就有了下界。其概率值主要取决于模型中各随机变量间的相关程度。

参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_method，mit18_226f20_lec7-9.pdf。

其他一些概率、统计及机器学习中常用的concentration inequality可参考概率论和机器学习中的不等式 - 知乎 (zhihu.com)

虽然我们之前提到过，高阶矩存在则信息越多（推出低阶矩存在），但是实际上一些（强调是一些！）概率问题求解关键往往归结于二阶矩的情形。比如中心极限定理我们做到二阶矩就够了，且对任意δ>0，S_n/n^{1/2+δ}都是几乎处处收敛到0（假设期望为0）. 还有诸如Ito公式的推导也是保留到二阶矩项（二阶导对应二阶矩），以及BKG inequality等等。

3. Berry-essen不等式刻画了中心极限定理的收敛速度。假设均值为0的随机变量3阶矩存在，记标准正态分布函数为F(x), 则

sup_{x∈R}|P(S_n/n^{1/2} ≤ x) - F(x)|≤C/n^{1/2}.

如果我们利用Linderberg替换，直观上看是n^{-1/2}这个阶，但是这个替换精度太粗糙，因此我们必须寻找更加精细的工具加以解决。

一种办法是通过特征函数，利用Polya’s distribution的结论，把原来比较的两个分布函数对其做卷积（含参数L)，利用Polya’s distribution中超过L两侧特征函数为0这一性质来简化估计（紧支撑在[-L,L]中），同时卷积后的两分布函数差的最大值能被卷积前的两分布函数差的最大值控制，由此得到目标结论。具体证明可参考durrett3.4节内容。

另一种办法是通过stein方法，可以看成一种高级的Linderberg替换，但是要求的条件更高，然而正态分布正好match这个条件。具体过程可参考 Fundamentals of Stein’s method.pdf，不再赘述。

Berry-essen不等式的上述两种证明方法在特仑苏的随机矩阵专著中也有所提及，可参见这本书的第2.1节部分，这本书在讲随机矩阵之前也综述了现代概率论中用到的很多证明技术technique。

参考：陶哲轩，Topics in Random Matrix Theory, 美国数学会，2012.

4. 有关正态分布的诞生历程及发展可参考 正态分布的前世今生（上） (qq.com)，正态分布的前世今生（下） (qq.com) 。对于正态分布/density function，我们可以从不同的角度解释它。例如Fourier变换的不动点，热方程的解，最大熵分布等等，甚至还可以从重整化群（本人完全不懂）的角度出发，说明正态分布是分布在不断粗粒化演化过程中的不动点（可参考(1 封私信 / 24 条消息) 如何理解中心极限定理？ - 知乎 (zhihu.com)）。由此可见从不同视角观察，正态分布具有很多奇妙的性质。

最后提前小小地透露一下，老师的自编讲义打算经整理一波后出版公开，快的话可能24春或24秋大家就能享用电子版讲义，以及个人打算（还未定）参与编写讲义的配套指南。有任何意见欢迎联系刘老师和我，也期待讲义能早日面世！

2020春《概率论》课程旁听笔记：

Notes_Probability.pdf (61 Pages, 25.78MB)

课程回放：

001143.02.2020SP.html.zip

2020春季学期由于疫情在家上网课，时间比较充裕，因此讲的内容比较多，几乎处处真包含2020秋季学期的内容。多出来的主要在概率论外篇，包括信息熵、Lindeberg替换术、矩方法、随机矩阵四个部分。

PS：刘老师声音超级温柔！助教giegie超级帅！给分超级奶！会一直喜欢下去的捏！

2020秋，考完试来评课，把首评送给刘氯纶。

刘老师在对课程内容的把握上应该是非常从容的，节奏也非常舒服，而且很多地方讲的都十分细致（特别是各种神秘计算，刘老师都会非常详细地写在黑板上，没写完下节课还会从头讲）

就这点而言，我个人觉得即便是基础不好的同学或者是没接触过实分析的同学，认真听也应该可以跟的上。不过还是建议了解一些实分析的内容，这里我觉得durrett的前三章和folland的前三章是非常好的资料，应该来说对于理解概率论中的各种内容，比如像是\sigma-代数（“好”的集合类，也可以代表某种“信息”），独立性和乘积测度，期望和条件期望（靠你知道的东西来猜猜这个随机变量）的本质等等，都有非常大的帮助.

简单组合计数的各种模型在刘老师的概率论中是非常重要的（这点是我感觉和高概差异比较大的地方，很多方法确实是比较独特的）。这在离散概率部分中会反复用到（特别是随机游走的轨道计数问题）。同时，后半学期反复讲的矩方法中也会涉及到一些关于组合计数的模型（像是半圆律中的Catalan数）。尽管这些东西老师上课的时候会非常详细地讲，但是落实到自己写的话，中间的一些逻辑很容易出问题（这些说不清楚的地方在考试当中是非常致命的，而且与之相关的内容是考试必考的），所以我建议初学者上完课一定要自己“复现”一遍，把中间的每一步和逻辑都搞清楚。（背也要背下来吧，逃）

其它内容大家都已经说的很详细了，这里发一点我觉得还蛮有用的东西（造福不爱听课的同学...）:

1. 一篇随机矩阵的讲义：
https://www.math.harvard.edu/media/feier.pdf
包含了老师上课讲的矩方法证明Wigner半圆律（以及推广的Wishart矩阵的渐进谱分布)，应该来说写的十分详细.

2. 特仑苏的有关CLT的讲义:
https://terrytao.wordpress.com/2010/01/05/254a-notes-2-the-central-limit-theorem/
https://terrytao.wordpress.com/2015/11/02/275a-notes-4-the-central-limit-theorem/
这两篇notes包含了老师上课讲的Lindeberg Replacement Tricks和Moments Method in CLT, 并且还包含了非常多的内容，作为补充读物而言十分推荐.

3. 教材上的多维高斯分布我个人觉得讲的不够多，这里老师补充了关于它的比较重要的一些性质:
   i) 高斯分布可以通过均值向量和协方差矩阵唯一确定
   ii) 随机向量服从多维高斯分布，那么这个随机向量的某一部分所满足的多维高斯分布可以直接由均值向量和协方差矩阵中的对应部分决定（打洞）
   iii) 多维高斯随机向量中一部分关于另一部分的条件分布 (可以从第二条的证明当中得到)
   iv) Wick乘积公式（似乎称作Isserlis' theorem比较多）参考https://en.wikipedia.org/wiki/Isserlis%27_theorem
证明可以在http://www.math.utah.edu/~davar/math7880/F18/GaussianAnalysis.pdf当中的一节里面找到

当然，多变量高斯分布的相关资料有很多，大家可以自行上网查找.

4. 熵的相关内容可以参考其它同学提到的李贤平，或者Joy A. Thomas: Elements of Information Theory的第一章。老师上课还补充了maximum entropy distribution：https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_entropy_probability_distribution
这是指在给定密度函数(广义，可以是离散的)的支撑集上，给定一些条件时，存在某种可以使熵极大化的概率分布，基本上都是用上课时讲到的Gibbs不等式来证明极大性.

先写这么多23333，有想到再补充.

刘党政老师讲的内容还是比较深的，尤其是临近期末的部分。教材用的是Grimmett/Stirzaker的Probability and Random Porce sses(剑桥出的书)，内容是1~5章、7.1-7.6章节。期中考试之前讲前四章还是比较容易的“”大概就是一些基本定义（测度空间、乘积空间、分布函数、密度函数、各种分布、期望 与条件期望的计算、方差与协方差什么的）。期中考试之后难度就加大了：特征函数、逆转定理、中心极限定理，而后是随机变量收敛性，大数定律等知识。对实分析中各种收敛性的推导需要非常熟悉。同时还介绍了诸如Kolmogrov zero-one law、重对数定律这样的高等概率论的内容，然而由于课程只有16周不到，放假还冲了几次课，后三章只讲了6周左右就考试了，一些大的定理没有证明，这门课加到20周比较合理。

刘老师讲课讲的不错，人也幽默，很亲民。听完一学期的课收获很多。作业难度普遍偏大，但是Grimmett那本书有答案书《概率论题解1000例》。参考书的话，可看复旦李贤平的那本概率论基础，一些重要定理、较难的定理的证明可参见RIck Durrett的概率论。

考题期中考试还好，期末考试难度非常大（尤其是秋季学期），需要好好复习老师上课的笔记和布置的课后作业题。当然刘老师出题不是平白无故的“杀”，而是让学生学到一些东西，这真正是能把学生考得心服口服的题。给分很好，不会在成绩上为难各位。

记住几个重点：变量替换公式、正态分布、特征函数与独立性的关系、收敛性的互推、如何创造使用“大数定律”的条件。

要记住：概率论不是摸球，但摸球是必要的。概率论不只是实分析的有限测度版本，它有它独特的概念与方法，这些很难在实变函数课上见到。

期末做的很漂亮。感谢刘党政老师。

来点回忆卷：

mid.pdf

final.pdf

正课在今天（5.14）全部结束了，来评个课。

作为一个有志于做理论研究的计科人，本学期我再次作死，使用 数院的 概率论 和 数理统计 来高替 概率论与数理统计 这门计科必修课（数理统计我留着大三上上）。这一学期刘党政老师带着我初步打开了概率世界的大门。里面有之前就知道的，更多的是之前不知道的，刘老师用一种轻盈的方式带我领略了随机世界的奥秘。

前半学期主要关注基本定义：概率空间、随机变量，以及一些离散概率问题。相比于中学时期基于发生频率这种直觉去定义的概率，数学家 Kolmogorov 用一种更加严格的语言告诉了我们概率是什么，通过若干条性质刻画了事件域（\(\sigma\)-field）和概率测度。基于此又给出了随机变量的定义：实值可测函数。这里实际上测度的味道浓一点，但在概率论这门课里并没有更多深入涉及测度论的东西。

而后是一些离散概率，这部分其实较多的是计数组合学上的东西，作为一个还算喜欢和懂得一些组合的人（吃高中信竞的老本），离散概率大部分是老生常谈。虽是老生常谈，但也不代表这里面的东西就简单了。生成函数其实包含了诸多内容，当然刘老师没有花篇幅来讲。Erdos 开创性的给出概率方法（本质上是一种加权计数），运用期望的线性与抽屉性质、以及概率测度的若干性质，对证明存在性问题给出强力工具，这部分比计数就更加组合了，在组合学与更深的研究生组合课程里会更加详细的学习。

离散概率又被人称为“摸球”，有些人非常讨厌“摸球”。但我这里引用一下宗老师的话：

概率论不是摸球，但摸球是必要的。

期中考刘老师大放水，比隔壁尚世界老师班的卷子以及刘老师自己往年出的卷子简单一万倍。只可惜我脑子犯蠢，错失了或许是大学唯一一次在大考中得到满分的机会。

期中后较为蜻蜓点水的带过了连续性随机变量后（当然对正态分布的一些东西还是细致讲了讲），直接切入了一般随机变量的各种收敛以及大数定律。这部分可以说是彻底摆脱了组合，进入了较为分析的概率论。我因为个人原因这段时间缺了比较多的课，之后补课还挺痛苦的，这里也感谢我高中同学的笔记。

大数定律的证明还挺技巧性的，矩不等式、截尾、子序列法等。我根本不敢说我完全参透了 LLN 的内涵，只能说它特别的漂亮。

对于中心极限定理，引入了或许是生成函数加强版的特征函数，这一工具和 Fourier 变换相关，并且有着反转公式和连续性定理这样美妙结论。而去掉 i.i.d. 这样极强的条件后，对于只是独立不同分布的随机变量列，又有 Linderberg-Feller CLT。最后介绍了 Chebyshev 的矩方法。

总的下来这学期教授的内容还是挺多的，几乎把 Grimmett && Stirzaker 这本书的第 1~5、7（前半）章都讲完了，而且好像多了不少私货。但好像下放到每一节课也没有几面黑板，有一种举重若轻的感觉。每次复习都感觉自己恍若隔世。

我认为实分析对于学习概率论还是很有帮助的。我因为这学期还有计科自己的专业课要上，选完概率论和近世代数后没有再去修读实分析。但感觉学过实分析的人对某些点会更加敏感，比如一些反例什么的，没有在实分析里接触类似物的话挺难想到的。

期待进阶课🥰

最后一节课的最后，刘老师用三行字总结了概率论这门课：

如果过了五年十年，你还知道大数定律，知道中心极限定理，说明你接受过高等教育；

如果你还知道随机变量的定义——是个可测函数——那你有可能是个数学工作者；

更进一步，如果你还知道独立的定义，那你很有可能就和刘老师我一样，在某个大学教概率论。

刘老师yyds

管统人，管院的概率论实在没学到什么东西，以及考试各种阴间摸球题。这学期就来学了刘率论，收获巨大。以及感谢＠QuantumSlayer提供的纸质版笔记，让我能学到老师没讲完的随机矩阵。课堂内容上面各位大佬都很详细的说了。我期中过于作死，没怎么复习和做题就去考了，40多分；期末认真准备了，卷面89，不管最后总评如何，我在这门课上的收获远比那GPA有用的多，GPA不能洗澡！！

感谢刘老师让我彻底爱上了概率，为概率的美所折服！

补一张图吧

老师最后的比喻太贴切了，多年之后

• 如果你还知道强大数律，中心极限定理，说明你接受过高等教育
• 如果你知道随机变量的定义，说明你是一个教学工作者
• 如果你还知道独立性的定义，说不定你就是刘老师的小同行

概率论考完摆了好几天，今天出分了，第一个4.3的数学课，也是第一个总评100的数学课，特来写个评课。

开局先致谢一下wxy助教，不厌其烦的帮我答疑解惑了一个学期。

关于课程其他，宗老师已经说的很详细了，个人感觉期中考试之后难度确实比较抽象，学起来很吃力，作业基本全是抄的（没错期中考前其实自己也不会做）。

个人学习的一些心得：

1. 平时一般听的20年网课，所以基本上没见过党政几面。 党政讲课听起来节奏比较慢，但其实中间干货还是非常多，每次课下需要消化的时间还是比较长的。

2. 看过的资料大概有dzhgg的笔记，zyxgg的习题课讲义，加上何书元前五章的所有例题和定理证明（感觉难度略低于dz讲的东西，大概补充一下知识面，实际作用不大）

3. 关于备考： 和其他课一样感觉很多定理证明抽象无比， ~~但是实际上有些东西动动脑子也知道考的可能性不大所以就选择性不看了（点名柯尔莫哥洛夫强大数率等）~~ 一些比较容易的定理证明需要看一下，基础的计算最好也要会，不等式部分也有一些琢磨的地方，还有一些其他的常用方法（比如截尾法等，在宗师讲义里都有），作业和精选题最好都过一遍，最好能背一下思路，很多题目思路会出现在考试里。 宗师的讲义基础部分也可以挑着一部分看一看，里面有很多东西质量很高（有些东西看不懂也不必强求）。反正我是没有考前突击的。

4. 关于给分： 期中94，期末96， 总评100 感觉优秀率基本满 所以给分应该还算是不错

其他的一些碎碎念：

这门课确实花了好多时间去学（本来打算考研应统，之后被某学院被刺了md），感觉比实分析复分析近世代数三门课加起来的时间花的还多（所以我也知道为啥其他三颗学的稀碎了）， 不过花时间还是能学懂基础知识的（毕竟我这种混子都学出来了）， 所以推荐选课。

后续再补充...

首先在此衷心感谢刘党政老师和宗语轩助教这一个学期的教导。 本来想写个长评，结果一看宗师写的评课实在太太太详细了，一时间不知道该写些啥了） 总之这门课感觉是你科数学最优质的一档。

24春更新   很荣幸成为这门课的助教，以新的身份再体验一次刘率论👍

鉴于之前上这门课的同学已经写了非常多的点评了，我当时就没有继续给这门课再继续增加评价了。这学期有幸做了助教，发现还是有些问题可以谈谈（大四人闲来无事水一波评课社区）。

这门课程今年第一次改成3+1学制，把3学分作为必修内容，1学分作为进阶内容。这里主要说的是容量为12学时、学分为3学分的必修部分。这部分基本涵盖在除去往届“外篇”的内容，但在诸如随机游走、重对数律等地方有所削减（导致据说进阶课程多上了很多统计物理2333）。

总体来说，由于第一次学时上发生变化，刘老师也对教学计划进行了一定的调整，导致可能一定程度上出现了“期中前讲的比较慢，期中后讲的太快”的现象（虽然往届这也是存在的，但好像改成3学分之后这个现象加剧了）。最终考试呈现出期中一片欣欣向荣、期末均分约为期中均分一半的结果。（这个事情也反映在不少同学的作业上：期中之前很多同学还是坚持不抄答案，作业会出现错误的; 期中之后不少同学的正确率就直接上去了Ծ‸Ծ极大的减轻了助教改作业的负担2333）

其实期中之后很多同学觉得很难，很大程度上还是源于对概率空间的理解不够深刻，以及对实分析、测度论不熟悉。这门课程以及之后的高等概率论，其实很大一部分都跟测度论有重叠之处。可以说，掌握好测度论，就已经明白了概率论中相对抽象的部分;概率本身反而是给这些抽象的测度加上一些直观的“事件”在里面。另一个比较抽象、概率论中特有的东西可能就是弱收敛。这种收敛方式其实是一类更一般的弱收敛的特例，但在概率论中有着非常明确的含义，因而会在概率论中单独研究。很多同学第一次接触这些收敛概率时可能会混住，其实这些收敛各有各的用途，多用几次还是能看的很明白其中的区别的。

刘老师本人实际上研究的兴趣非常广泛，而且对类似于组合、随机矩阵以及与物理的交叉等尤其感兴趣，这也经常能反映在老师平时布置的作业以及期中出题上（比如今年虽然普通部分没讲随机矩阵，但最后一道大题还是考的是GOE（2））。顺便透露一下，根据我这一年给大三同学辅导丘赛的经验来看，刘老师对丘赛还是非常关注的，经常有些丘赛讨论班上讲的题目最后就变成他某学期期中或者期末题目了23333（比如他今年期中最后一道附加题基本就是去年丘赛原题）

当然，我第一次带助教，还是可能会有些经验不足。好在同学们都非常nice，平时沟通都很愉快。一学期我也就上过两次习题课，也基本把我认为非常重要的内容讲给大家，主要包括

一、

1.区分概率论中随机变量和实分析中可测函数

2.期望的线性性为什么在概率论中比实分析看起来更有用

3.示性函数在集合论、测度论和概率论中的应用

4.一类快速证明组合恒等式的方法

5.概率转移和递推模型

6.一类摸球模型

7.贝叶斯公式的使用逻辑

二、

1.四种收敛方式的关系及其常见证明方式

2.打洞证明多元正态分布性质

3.特征函数的计算方法与性质

4.次序统计量

这些内容作为概率论中的重要内容，在本课程以及后续课程中都有很多应用，我感觉通过备课梳理一遍这些对我自己也有很大帮助（手机码字不方便传文件，有需要讲义可以私戳）

最后的话，刘老师给分还是很好的，考虑到最后期末考的情形不是特别好，刘老师使用了期末开根号乘十的秘术，期中也是完全按卷面分（由于有附加题满分超过100，最后总评也是卷面超过一百依旧按卷面分算），让我目睹了海底捞的实现过程，只能说大为震撼（许多同学期末10+，总评60+ (:з」∠) ）。

当然，这门3学分的课由于期中后部分学时较为紧张，可以明显感觉到很多同学开摆了，期末前在群里重复问一些基本的概念。还是建议选这门课程的同学能意识到，这门课虽然难度减小了但依旧不是水课，期中考的好或者期末前作业不会也不能完全开摆，起码得给予这门课一定的学习时长，才能在学完后对概率论有较好的掌握_(:з」∠)_

可能是我对概率这个方向实在是无感的缘故这门课学的比较随性，正如dz所说数院的学生写写作业，听听课，看看书这门课就问题不大，我感觉我也仅仅做到了这些很基本的任务，除了考前会看一遍宗师讲义，不得不说宗老师是真的tql😭，跪谢了。

今年的考试比去年简单很多，而且dz的给分应该不用质疑，但说实话我没有体会到“来数院不听dz的概率论等于……”这种感觉，不是说dz有任何问题，dz还是把grimmett讲的很清楚的，作业题难度也还适中，还是应该给好评的，可能起初我期望略高或者我对这门课兴趣不太大导致我的体验感没有那么完美，不过还是一门好课。

不过还是想给dz提一个小建议，课前能不能预告一下下节课的内容，哪怕告诉一下要讲grimmett的哪一页也好，每次我到课要翻小十分钟书才能找到😣

奶爆了，给dz加一星⭐😭😭😭

ldz的概率论算是我这学期收获最大的一门课吧

上课书本是Grimett Chapter 1-3+5.1(期中前)，Chapter4.1-4.10+5.6-5.10+7.1-7.5+外篇——Lindeberg条件证明（参考这本的相关内容https://book.douban.com/subject/1509190/），熵（参考李贤平），随机矩阵（好像没有什么可参考的，好好听刘老师讲课+看讲义吧），但ldz有自己的一套体系来讲，不仅顺序没有完全按课本，就算讲和课本相同的章节，也不会照着书讲，可能会省略掉课本上一些繁琐（而且没有太大意义）的证明，而有些课本上没有的证明会做适当补充。实际上，他这样讲可以让学生很好的抓住概率论中一些核心重要的东西，并且省略掉一些丑陋的证明推导，因此学习起来体验相当不错。

作业的话，ldz的作业并不会特别多，一般每周可能5，6道作业，然而（尤其是到后面）这些题并不好写，每题花上一个多小时想都是很正常的。不过，虽然Grimett那本书有配套的答案书，但不建议太快的去看答案。在后半学期很多内容是相当深刻的，经过了写作业中（痛苦的）思考过程，绝对是对理解相关内容有很大帮助的。

然后说一下考试

期中考前内容难度普遍不大，但期中考的难度并不小（注意选秋季学期课的同学不要被以前春季学期的期中考卷所迷惑，秋季学期和春季学期期中考难度不是一个量级），出了一道和配分函数有关的作业题，不过虽然是作业题，但是是那种写起来有3，4页纸长，而且还是看了半页就看不懂那种，所以那道题大多数人就随便写了两行，助教也就随便给了两分。期中考平均分最后没及格（大概58）。

期中考后内容难度急剧上升，尤其是Kolmogorov强大数律和Linderberg条件证明，要理解起来得花很多时间（不仅要把他们完整默写出来，还要仔细想想每一步为啥要这样操作）。期末考试难度也不小，但相比于期中考试相对正常一些。并没有像期中考配分函数那么多技巧性的东西。只要把老师上课的东西看得很熟，拿到90+甚至满分还是有可能的。注意一下ldz每年必考Linderberg条件（送分题）和随机矩阵（一般放在最后一题做压轴，而且第二问会和强大数律结合起来）。最后期末考改卷大放水，平均分差不多65。

除此之外，这学期还穿插着两次小测，应该都是点名性质。其中第二次小测题目是：什么是熵？生活中有哪些熵？（某位dalao写了熵鞅变法）

不过虽然考试难度偏大，ldz的给分还是很良心的，按照235的比例我最后加了8分。

最后，强烈建议之后做概统方向的可以提前选掉这门课（在大二上或大一下，如果想提前学数理统计就一定得是大一下），因为这门课可以算这个方向最最核心的基础课。尽管有很多学长可能会劝退说没学过实分析千万别选ldz的课，但亲测提前选不会有太大问题（虽然可能要多下一些功夫）。首先，这门课需要的实分析基础其实不多，只用大致看一下Stein的第一章（了解一些测度的基本概念）和第二章第一节（了解积分怎么定义的，几个收敛定理，Fatou引理）就可以了（相比之下要学高概估计得把本科实分析课的内容a.e.学的很透才能算有基础）。当然也可以看zmq自学实分析，这样可以直接从抽象测度的角度来了解测度的定义，但似乎本科阶段概率论不用那么深的知识，而且zmq讲的很冗杂，所以没必要。其次，尽管有些证明或是习题的可能有比较多的实分析背景，没有这样的基础第一次看会觉得有些难懂，但这样的内容好像考试基本没有。而且倘若能提前选完概率论了解这些内容，其实之后实分析课会学的轻松很多。

先来占个位置 期中以后把自己摆死了 期末结课才怀念党政 老师是非常好的老师娓娓道来引人入胜

下学期也许还会再来😋

光速二编：

dz：最后一节课尤其是复习课还来的，都是对概率论比较热爱的，比较聪明的学生

前半句还是认可的 后半句感觉已经🤡🤡🤡🤡

他真的我哭死😭

dz：我教的课是比较难，但是我给分比较厚道

感觉概率论是这学期最简单的一门课了。

只去听过一次课，期中期末之前各花一天半速通，期中100期末98，虽然没出分但按235算极有可能刷新我的最高总评。

感觉老师讲课不带话筒还是声音有点小，可能对在后排听课的同学不太友好。

这门课本身对我而言还是蛮有趣的，也比较有套路可循，大部分是理解了就会了，并不过多依赖技巧。

出总评了，第一门总评100的数学课，略微抚慰了我实分析复分析全部炸掉的悲伤。

刘老师的这门课轻拢慢捻地奏出了主线，选取的定理和例子都是重要的。老师给我的印象是十分关注学生的综合与长期发展：经常（靠到第一排）问同学前面的课程有没有算过这个例子、强调概率与代数等分支的结合、关注北大等高校的概率方向建设；而僻静一隅的2601也增添了这门课的学术沙龙意味，当然这有些跑题了。

对于选课同学，期中之后讲收敛性那边作业会比较难做，不用太担心，期末复习的时候你会发现这些题用的都是很基本很普遍的技术。这学期期中（前三章）声称并出了一道精选题，期末没有声称也没有出精选题。如果你实在来不及做，经完全排查认为这学期前三章精选题中价值最高的有：1.8.16、1.8.17、2.6.2、2.6.3、2.6.11、2.6.14、3.11.6、3.11.13、3.11.18、3.11.28。

分享王兵老师一次课上的说法（原话并非如此）：概率论表面上看研究的是不确定的东西，但得出的结果有时比分析学更精细。就像野球场上你遇到了一个人说“我不会打我不会打”，真打起来说不定挺厉害，可能还有些私活。

upd:上传课程笔记(latex版本)，基本就是老师上课讲的东西，不过似乎之后老师会发自己的讲义了

document1.pdf

大二上学期最喜欢的一门课。dz上课节奏并不快，时常还会跑题讲点别的东西，整体氛围挺轻松的（可能秋季选课人数比较少也是一个原因），老师也经常下来问学生一些情况，给回答问题的同学发过几次书，放过一次柯南，然后还让同学上去讲了一次题，整体体验相当不错。

但是回过头来看一节课的东西其实挺多（尤其是期中后），16周的课（还耽误了几次）把Grimmett的1,2,3,4,5,7章的大部分内容讲完了，不过往年会讲的随机矩阵和信息熵今年没讲。

期中考试之前主要是概率空间最基本概念的介绍和离散随机变量，然后以随机游走作为了一个应用的例子。难度并不大，有的题需要一些组合计数的方法，概率方法的应用也颇具技巧性。平时作业也挺容易。期中考试也很容易，前四道基本都算是作业题，后面两题，一个是概率方法在线性代数的应用，一个是无原性概率测度稍微有点难度。难度不大，所以改卷也比较严格。平均70，中位数75。

期中之后先是连续随机变量，基本就是把之前离散随机变量的一些概念再讲了一遍，粗暴地理解就是求和变成积分了。然后是一般的随机变量，这一部分难度陡增，涉及了不少硬分析的东西。为了更一般地讨论期望，需要一些抽象积分的内容，dz把所需要的实分析里面的一些基本结论给出来了（BCT,DCT,MCT,Fatou等）。再然后是随机变量列的几种收敛，这一块的定理证明需要掌握，基本囊括了做题中最基本的分析手法。最后是大数定律和中心极限定理，这里面a.s.收敛和Borel-Cantelli定理（组合计数的矩方法），截尾、取子列等技巧都有一些难度。

期中之后内容明显多了很多，难度也较大，课后作业建议自己多思考思考，尽量别看千题解。期末考试难度挺大的，有5分附加题，改卷应该也比较放水，最后平均分61。

要想应对好这门课的考试首先要把课上的东西都掌握透，Grimmett的课本还是相当不错的，习题质量也很高，而且dz也会出作业原题和他挑出来的一些章末习题。然后就需要熟练计算，考试里面至少有两道题还是要进行一定量的计算的。剩下的比较困难的题就需要自己的一些理解了。最后给分很好，优秀率超了40%不止一点，我期中92期末99最后总评99。

这门课在内容上就值得一学，而且dz的授课也一定程度地激发了我对概率方向的一些兴趣，下学期还会继续学概率论进阶。

春季学期这门课要求在12周内上完，第七周周末组织期中考试，第十三周周末组织期末考试，以该内容量来说，时间非常的紧张（而且在那之后期中考试接连到来，后半学期难度陡然提升，导致很容易不消化）

dz的课程组织感觉很好，感觉本门课后半学期完全建立在实分析的框架体系内，和实分析一起学习可能相得益彰？但是和实分析又有明显的不一样。dz上课节奏比较慢，导致我几乎处处在摸鱼，dz喜欢在讲一个问题的时候先讲想法再写板书，导致我可能发现那是思路的时候就已经讲完了，但是回过头来再想一想，看一下20回放，还是收获颇丰的。宗老师的习题课讲义也让课程组织更加完备，刘老师教会你知识，宗老师教会你分析问题.jpg

给分自然是无可挑剔的，期末我甚至把均匀分布的密度当成1算的Liderberg条件，该错的不该错的全错了，最终还是被捞起来了，感觉优秀率应该满；身边同学确实高分也不少。

来科大不学刘率论就比如……

学长们说了不少，我来传点图片。

（刘老师和小学生合影）

（刘老师和道德经与金刚经）

(刘老师与道、注意屏幕左上角的古怪歌）

查总评时助教回复94.5心凉半截，最终没卡我绩，感谢dz！

今年概率论降到3学分，外篇内容基本移到了进阶课里面去，难度降了一截，但由于12周的极短上课时间以及密集的期中考试安排导致后半学期的学习糊里糊涂就过去了，感觉最精彩部分的学习效率远不及期中前。

考试相比4学分的时候简单不少，期中期末都会有几题是作业题+精选题里面的原题，其他题大部分也都偏基础。以及今年助教的习题课讲义属实巨大有用，感谢助教们！！！

刘老师讲课极好这一点已经备述之至了。具体学习的时候需要课下多下功夫，把作业题和精选题认认真真做一遍，会很有成效。

最后引用刘老师的一句板书来总结12周的概率论学习：Probability Theory is Measure Theory with a Soul.

教材：Probability and Random Processes, Grimmett & Stirzaker

配套教辅：One Thousand Exercises in Probability, Grommet & Stirzaker

大二上学期修的概率论，先在刘老师的建议下花了一个多月把实分析Stein的前两章自学完了，以防听课突然掉线。事实上，课程中用到的实分析内容主要有：依测度收敛，弱收敛，Fatou引理，单调收敛，控制收敛，Fubini，Truncation technique……

上半学期主要是以一些离散的、有实际例子的随机分布作为出发点，引入概率论这门学科。可以说前半个学期上课速度是很慢的，知识也不多，但是由于结合了一些“实际”的例子，灵活性和思维难度倒是挺大的。

后半学期的内容有：多远正态，特征函数，Stieltjes积分，C.L.T.，Linderberg，4种收敛，L.L.N.等内容，明显比前半学期要来的理论性得多。虽然更加抽象了，但是同时也意味着各种奇怪的题目几乎消失，可以沉浸在优美的概率中了（雾）。

作为外篇，刘老师介绍了：Linderberg Swapping Technique，熵和Gibbs不等式，随机矩阵（Wigner's semicircle law，Wishart模型）。前两者非常简单且优美，而第三个就不那么又好了。老师在课上只介绍了Wigner's semicircle law作为引入（且只是依分布收敛的版本），我却认为这门课程里最最最难懂的地方就是这个定理的证明了，因为其中需要组合计数。

讲课：刘老师的讲课是极其友好的，我非常喜欢。

作业与习题：老师的作业少而精，而按照老师的话来说，想要在概率论上拿一个好的分数，把书上的题多做做是很有必要的。上半个学期我努力地把书上对应的习题全做了，仍然被期中考试斩于马下；而后半个学期内容转变后，狂刷习题其实并没有什么必要，只要理解好了，考试绝对不会让你失望。教材及其配套教辅（其实就是习题答案）上的题质量不一定都特别好，有的题挺折磨人的却又没有什么意义，推荐在完成教材大多数你觉得有意义的习题的前提下去看一看做一做Durrett的概率论（也即高概教材），这本书更加优美。（注：历年期末的最后一题一般比较优美，可以拿出来单独欣赏。）

刘老师值得给10分，我原本是本着赶速度学完课程好在大三大四空出来时间的想法提前选了这门课，但是刘老师的课让我慢下这匆匆的脚步，驻足在概率论的美的世界里。

这是一门让我重新审视自己的课程。

一年前找班主任问培养方案时，她说过这么一句话：

“大二下的课难度都很大……也就概率论能简单点”

于是我信了这个邪

也确实在概率论上花费了最少的精力。

前两章的“摸球”还是挺平凡的，不过Grimmett的课后题还是有些难度。

“不过是些我没见过的新模型罢了，见识了就会了。”

三四章离散型、连续型，知识量其实不多，而且例题也少——但各个都是重量级。

“反正听讲了有印象，考前再看看就行了。”

怀着这样的想法，期中考前两天才开始复习。结果勉强才把课后题过了一遍，精选题、习题课讲义没时间看了——然后期中后三题：一道不在课本上的作业，一道例题改编，一道精选题改编。

前三题拿了满分，但最终只考出了个中位数。

我意识到了问题：看课后题用处不大，不如习题课讲义+精选题。

5.28考完光学，再过一个周就是概率论期末。

而期中期末之间，又出现了一个节点：

实分析H期中考得不错

“Probability is measure theory with a soul.”

”实分析都学得挺好，概率论难道不轻松拿下？“

戳啦！

期末复习的时候才发现：

我！看！不！懂！

像是复分析H，讲得确实是很难，但至少只要我花时间去复习，就能逐渐理解一切（虽然没有做到）。

而概率论，笔记上那些简单的东西的确看得懂，但一看到题：

1. 用了什么定理？
2. 为什么可以这样放缩？
3. 怎么想到这一步的？

复习到CLT，整个人就已经蒙圈了，索性只背了定理内容以及Lindeberg和Feller条件。

至于第七章，是彻底坚持不下去了。背完Kolmogorov强大数律，我再没有勇气翻开它的证明。

进而期末强大数律的那题直接白给。

好在ldz给分还不错，给我捞到了3.3——而没有灵魂的测度论是4.3。

概率论真的不是一门水课，它可以讲到很深的层面。而我的技能树，还真就没往这里点......

这学期没怎么收获丰富的概率论知识，但我更清晰地认识了自己的优劣势，并且之后不敢再轻视任何一门“看似简单”的课。

概率论是一门有趣的学科，不过就此挥别吧。

我觉得刘老师是真真切切地希望我们能够以一个更广大的视角来审视概率论的，期中用概率论方法证明不等式，期末的随机矩阵、熵，等等，刘老师总是给我们许多惊喜。真的非常感谢刘老师能够给我这么多收获。让我也真的感受到概率论绝不是摸球（事实上期中期末没有任何一道题是摸球），也绝不是总测度为1的特殊情形实分析，而是有自己的特色与魅力的。虽然成绩不理想，但是我依然觉得概率很美。

刘老师上课思路其实挺清晰的，只是有时候速度快慢不一导致偶尔跟不上，但是记笔记的话，课后再看看也能够理解。刘老师有他自己的讲课方式，为什么要拿他不完全按照课本顺序作为攻击点呢？难道好的老师都应该完全照着课本？？？

总之，抛开考试不谈，刘老师绝对是一个非常好的老师。

但是至于考试，我确实也想吐槽几句。个人感觉期中考真的不能很好地反映一个人的努力。我考前花了好久把老师上课讲的关于随机游走的部分认认真真地看了并且自己推了，自认为是理解了，但是考试考的是在圆上的，我当时就懵了，最后也就是随便写了点，那道题只拿到同情分。还有最后一题，老师考前布置过类似的用概率方法证明不等式，我还独立思考写出来了，但是考试的时候我把题目中的向量e_1到e_n看成了n维空间的标准正交基，直接整道题就崩了还自以为做出来了。前面部分做得还可以。但是最后得分并不理想。这能说我没有努力付出吗？至于期末考，我反而觉得是难但是有梯度，不至于一个点崩盘，可以说是出得蛮好的一张卷子。

给分的话，应该暴力调了很多分，本人至少被奶了七八分，从这点来看给分还是可以的。但是据助教说优秀率最后30%左右，那给分其实也中规中矩吧，因为我觉得如果给到40%优秀率我还是能上3.7的（现在这门课成功成为我在科大第一门没到3.7的数学课）。当然这也没有办法，自己考得不够好也不能怪老师什么，真的学得好的，照样拿4.3 。看到之前有同学说他还看了其他两本参考书，我觉得我这成绩也是理所应当的吧。

总之，刘老师真的是一个很棒的老师，人有趣，水平又高。想要学好他的课真的需要付出许多努力，不是那种理解笔记并掌握作业题就够了的努力。

刚出分，来评个课，感谢刘老师给了我至今专业课最高分（本人比较菜）

我是大三上来重修的，因为之前修的是管院的概率论，所以重修也基本没翘课，这门课想学好真的要花很多时间，老师讲得很好，条理清晰。还会经常问前排同学学得怎么样，虽然看到老师走过来我的第一反应是低头。我感觉老师写板书挺慢的，就是一笔一划都很认真的感觉，我一直觉得这种人畜无害的风格和后半学期的内容难度很不搭。

具体上课内容可以有人写了就不重复了。

考前建议多做往年卷子，做好心理准备，在考场上可以直接放弃一些题，比如今年最后一题。复习做过的习题和课上例题，务必做到这些题不要错，然后认真把能做的题做对就差不多了。

我总评按235算加了8分多（可能因为卡绩多加了一点），刘老师yyds。

今天刚考完期末情绪比较激动，先留个坑 考试实在是太难了！！！

总评已出。235，两次小测都到了的话期中+10，然后集体总评+5，基本上就是总评+8。

这样的话两次的均分60,65（估计）折合之后是78.5，正好是3.0。应该属于正常给分吧。

个人不建议选刘老师的概率论。

1.占用时间会比管统的概率论多一些。因为要学的东西要多不少嘛。但是实际上管统的概率论的内容已基本够使用。

2.考试难度很大，故改卷“放水”。这也导致改卷比较混乱。很多“不对”的答案都被判了满分，这点不太像数学课。

对于老师补充的东西，我可能只是像一种带着任务去背诵的感觉，体验并不是太好。

（补）当然，刘老师本身是很好的老师。

选啊，都选

补充：

看了大家被暴力调分，这个没有问期末成绩的人有一种期末只有20多的感jio

至此,已成艺术

考后再更

期中考完来评个课

我是管统人，企图用ldz的概率论加概率论进阶来替代管院的沟槽概率论，前半学期上下来感觉很好，讲课很清晰，感觉自己实实在在学到了一些东西

最后吐槽这个期中，难度和之前的期中完全不一样，感觉又会有一堆满分😭，鼠鼠要被卷爆了

真被卷爆了，预订重修

期中平均分83，这河里吗😖

感觉是没有疑问的十分好评！刘老师上课很有条理，十分沉稳，而且板书字很大，清晰易读，可以直接拍下来当笔记来用。

作业方面，量不大，很多都可以在往年宗语轩学长习题课讲义和千题解上找到答案。

内容方面，主要涉及：概率公理化，基本定义，随机游走，随机变量的收敛（中心极限定理，大数定律）等。

考试方面：期中难度不大，期末比较难。

概率论这门课不是有限测度下的实分析，有它自己独有的处理问题的工具和方法（特征函数，Markov不等式+Borel-Cantelli引理等），学好这门课，适量的习题绝对有必要。但如果你像我一样比较笨笨，那么你可以选择对着习题课讲义嗯看，上面有处理考试题需要的几乎所有的方法，记住它们，然后在考试的时候能成功用出来就会有一个不错的分数。

给分的话，我先相信刘老师！

给分超好
 

课堂：教材对自学没啥帮助，习题后半段基本上都爆难，还好有老师讲义。内容上用到了不少实分析内容，但不考察该方面的知识。速度上全程赶进度，因为是12周的课所以没怎么学就要考试。前半学期不用听，因为可以自学；后半学期也不用听，因为听不懂。

老师：上课感觉比较催眠，前半学期教的较慢，容易困；后半学期教的有点儿难，学不懂会犯困。老师语速语调不太能刺激我，同时抄板书太慢，浪费太多时间。

考试：讲了啥就考啥，完全源自于Notes。

给分：应该是比较奶，但是不及隔壁海底捞。

注：像Slutsky、连续映射定理、密度变换公式这种用途广泛的定理不作为上课主定理来教我觉得不太好。

Section A:课程客观评价

1.上课体验

刘老师对同学们的关心程度是非常高的，无论是课上还是课下，都很乐意花世界来和同学们沟通。在课上还会时不时放一些小视频，引用一些古文去调动课堂气氛。（这些调动在我眼里蛮无聊的，可是刘老师已经尽力了orz）。老师水平非常高，讲课的流畅度，深度，广度都是没有什么问题的，在大概预习了课程并且已经基本掌握了前置内容的前提下跟上课应该是没啥问题的。不过上课的声音不算大，且语速和节奏偏慢，所以上他的课不能急，得慢下来，慢慢用心去感受。上课的内容基本可以被前人的笔记覆盖，所以提前预习一下前人的笔记是非常有利于跟上课程节奏的。此方面给1.5/2分

2.平时体验

虽说刘率论是公认的难课，可是这门课在每一个时期，作业量应该都是不大的。前期基本就是一些很基本的课本题，后期基本就是一两道难题，而且作业基本都配有完备的解答。应该无论是要应付过去，还是要认真写过去，需要耗费的精力都不会特别大。老师的意思是不要补交作业，可助教是允许补交的x），总之这门课平时的体验还是非常不错的，不会特别累，能给个人充分的时间去消化与思考。此方面给2/2分

3.考试体验

考试大概是分为三类题：一类是原题，一类不是原题，但也就只是单纯的对课上定理的直接运用（插一句，课上讲的定理比书上的定理要少不少来着），一类是爆炸难的题（这类题和上一类题的难度差了十万八千里来着）。只要理解了定理以及作业有认真做，前两类题拿满应该是并不难的（如果没什么计算或者其他方面的失误的话。）有亿点难的题没几个人会写，但是助教会努力调整评分标准，这时候只需要努力去写下自己的分析过程，自己发现的各个特征或是小结论，或者是对一些特殊情况的讨论，助教都是会给到一个不错的分数的。考试卷子确实不好做，但出路也是很明朗的。缺点是“原题”的范围有点过大（书上一百多道不乏难题的题都可以算是原题），有点容易引起不大好的“背题，背到才会”风气，以及题目梯度安排确实还是略有小问题。给1.5/2分

4.给分体验

我个人是大二上提前修读这门课的，给分的时候身边的人都是一片欣喜）我个人评价的话，这门课的给分大概就是数院的平均水准，和微分方程的zlf老师相近吧。作业按时交，考试基础题不犯病，难题再努力研究研究基本就能上4了。此方面给1.5/2分

5.助教体验

这门课的助教都不是一般人…各种国奖与丘赛牌子觥筹交错。助教人都和刘老师一样和善，无论是习题课准备，还是群里答疑和私下答疑都非常热情认真，也给大家提供了不少参考材料，制作的课程主页更是提供了前所未有的便利体验。此方面给2/2分

介于刘老师目前在评课社区的得分（9.6）高于我给出的分数8.5，因此将8.5进行向上取整处理，刘老师最后的得分应该是9分。

Section B:课程主观建议

如果选到了这门课，单纯的希望获得高分，可以参考如下建议

1.课可以不听，前人的笔记非常完备（甚至证明过程都一字不漏，不过偶尔可能有笔误，需要自己甄别），自己看可能比听课节奏更快。

2.最基础的概率论入门应该是李贤平书，上面介绍的熵和多元正态分布也非常不错。苏淳整本书虽然比较难，可是上面的例题和正文对这门课是相当有用的补充，强烈建议三本书轮着看，会受益匪浅的。（甚至前十次考试少说有八次考了苏淳上面的原题，就是例题）

3.精选题不必过度较真，期中ldz考的精选题除了一道随机游走的比较难之外，其余的都是比较常规，不背也能做的。（其实期中的精选题数目不多，要背也不算太难。）期末ldz的精选题更是大放水了。（甚至好像考的是作业题，都不是精选题。）总之结论就是精选题如果太多，背不下来看不完也没关系的。只要把苏书例题，平时作业题，和考前给的复习题基本掌握，也就差不多了。Remark:ldz除了布置作业外，还会在书上精选大量的题目，声称考试会有里面的原题。

4.不要有侥幸心理，概率论外篇的三个部分都要给予足够的关注，注意好熵的gibbs不等式以及做差证明思路，lin替换的裂项思路和估计方法，随机矩阵的研究方法。这几个真的是看了就会，不看就下不了笔的东西！！考试几乎必然会涉及至少20分的，没看的话，你满分可能就只有80不到了…

简单说说这门课的体验。

从课堂上来说，刘老师的概率论课上的是非常之好，听起来舒适流畅，真的让我觉得自己是触及了概率之美的。

课后作业不多，基本上就是 Grimmett 上的课后题，偶尔会有单独出题，总体上难度不大，但也会有不翻答案就动不了笔的题。额外有布置 Grimmett 上 Problems 中的精选题，都是考试可能涉及的题目。刷精选题本身确实有助于加深对概率论中许多概念和技巧的理解，但是如果堆积到考试前做，压力还是很大的。我自己期中是刷完了的，期末刷了大约 2/3 ，精选题在期中占比很高，在期末反倒不高。

最后是给分，本人期中八十多，期末六十多，按照 2:3:5 的比例计算，总评为 78 ，实际总评给了 90 ，不得不说是非常厚道了。和舍友的总评比较发现，期中的比例应该是远不止有 30% 的。

不管最后分数怎么样，刘老师值得10分。

学长们说得已经够多了，我就不再赘述了。

最后看总评刘老师果然是奶力无穷，怎么寄都能给你捞回来。

以我个人感受，这门课确实是我至今接触过的你院之鉴。刘老师上课永远给人一种举重若轻的感觉，听他讲课丝毫无法感受到时间的飞逝。刘老师不拘束于技巧性过强的东西，而更好地抓住了概率论的本质，点出了这门学科同分析之间本质的区别所在，这是难能可贵的。书上的题总是很多，即便是精选题也够人喝一壶的。即便是单纯从应付考试的角度讲，这也是一门实打实的硬课，需要课下花很多的精力去回顾。

我用刘老师最后一节课上说的一句话结尾：学习的过程总是很艰苦的，重要的是从学习中获取一点智慧。用这句话来形容这门课，也是恰如其分的。

刘老师讲的很好，很清楚。但是我感觉刘老师讲的稍微有点慢了，有些时候感觉好像是怕我们听不懂所以放慢速度，但我觉得完全可以加快一下速度，多讲点东西（今年因为假期冲课，随机矩阵只讲了40多分钟）另外感觉上半个学期的进度可以再加快一点，本身上半个学期的内容就比较简单，这样可以留出更多的时间讲一些有意思的内容。

这门课内容是非常有意思的，在这之前我一直以为概率论就是总测度为1的实分析，学了一学期之后发现概率论的内容其实是极其丰富的，概率论的许多定理也是非常漂亮的。强烈建议大家课余时间学一学Durrett那本书，我利用课余时间啃了4章，感觉非常有意思，获益良多。

最后刘老师给分真的太好了，我考完期末之后有点担心总评，结果刘老师直接给拉满了，喜提大学第二个100，刘老师永远滴神！

刘老师是我在科大数学系课程中遇到最好的老师之一。

刘党政老师对于课堂节奏的把握非常到位，开场会以有趣的例子或者名人名言引入一些日常司空见惯的随机现象。尽管课程的难度有点高，除了Grimmett/Stirzaker的《Probability and Random Porcesses》这本教材外，老师还会补充类似Lindeberg替换术，熵，随机矩阵相关方面的补充的高等概率论知识，所以说这门课的课程深度是足够的，而且补充的内容，特别是随机矩阵，每年基本上必考一题，所以作业和笔记一定要反复揣摩，直到自己会独立推导大部分定理为止（虽然有很多定理看起来真的很烦，比如Kolmogorov强大数律，但自己咬牙推过一遍会有巨大的收获）。

至于考试和给分，卷子的难度很大，但你又会觉得每道题出的很合理（就是自己不会做QAQ），给分基本上是2：3：5加上6-10分左右，优秀率一般都给满。刚才期末查分，我看了整张卷子每题助教给分都很合理，大部分扣分都是自己计算失误，刘老师看过我的卷子说从得分分布上来看，我大多数知识点都掌握了，所以硬生生给我卷面加了4分，我自己还怪不好意思的。总的来说，老师能捞人绝对会捞，自己学习时做到问心无愧就好。

刘老师很可爱，上课前喜欢写一些名言在黑板上。乐于给我们讲他对概率论的理解。

刘老师的补充内容是有点难，而且似乎对随机矩阵情有独钟。

期末考试也不容易，说是最后一题最后一问不算分，期末成绩×1.1后再按比例算分。

还是很推荐的，因为老师太可爱了。

hhhhhhh这个学期的很多快乐就是跟同学一起猜刘老师今天又会在黑板写什么（以及一起吐槽近世代数老师讲课）

一开始我就是把刘老师的概率论当成摸球和有限测度的实分析来学的。。。假笑。

找到时间再详细说说。。。感谢老师海底捞我。

极不推荐刘老师的概率论，讲课很无聊，讲课的条理也不清楚。

老师用的是一本英文教材，但经常讲着讲着就找不到对应的内容了。老师上课讲了很多实际应用方面的内容，不过听得很懵，有些东西也没有讲清楚。我听了一个学期，感受最深的是他讲的那些概念很不自然，完全体会不到怎么用那些概念，尤其是各种收敛那一部分，上课的时候只是在讲定理证明，十分无聊枯燥，完全没有讲如何用怎么用这些新的概念解题。

最恶心的是考试，期中考试总共5道题，只有三道题与概率论有关，第二题本质上是数列（高中生都可以做！！），最后一题根本就不是一道概率论的题，硬要往概率论的期望上扯（最后一题就用到了平均值原理），本质上只有三个题是概率论课的！！

期末更恶心，考了两个关于熵和随机矩阵的（这些内容都是他最后几周补充的），可是老师讲课的时候完全没没有留过随机矩阵的作业，然后考了一个随机矩阵的定理！！！

（PS：这是我刚刚考完期末写的，可能会有些偏颇，但没有一句是假话）

首先课程方面给好评，dz老师上课属于比较自由的风格，时不时还会和前排同学聊天，有的时候两节课写不满四面黑板，（所以会给人一种很水的感觉）（bushi）但是上课的条理还是很清晰的，听课的观感也不错，而且老师不开bb（小声）有条件还是听一听吧 

给分方面ldz大爹，用不知名方式把优秀率给慢了，而且抬了我一手（bushi）dz每年都会出一道精选题和一道作业题，所以鼓励刷题（？）还有必出挚爱随机矩阵

妮可良心老师，把概率论讲的非常好，十分推荐。

五位（？）助教也十分C,fls yyds

改成3学分后外篇部分放到了概率论进阶，不过相比于管院的四学分讲的内容还要多一些（确信）

后半学期有些困难，不过配合实分析一起食用的话还比较好

期中比较简单，期末略有难度（其实大部分题都是比较基础的），但是本菜鸡由于期末没有好好复习导致正态分布不会算（为什么要去硬算啊XD直接看表达式就看出来了），特征函数性质不知道（纯粹是没好好复习），以至于期末只有80+，不过总评依然给到了90+，赞！

十分推荐刘老师的概率论。

前半个学期的内容都还比较轻松，无论是离散随机变量还是连续随机变量，各种性质都还比较符合直觉。期中考试以后的内容难度骤增，主要在于大数定律和中心极限定理以及四种收敛，都比较抽象并且不是很容易想象。作业也比较难，经常性要看答案才会写。不同于以往，这学期被冲了三次课，导致随机矩阵只讲了一次课不到，所以考试也就没考。

话说回来，这学期的考试不同于以往，很善良，最后老师也给了很多4.3。

之前本来是想学概统的，就在寒假的时候自己预习了一遍概率论，感觉还挺有意思的。

上课就变的无聊了起来，时不时就在做实分析的作业，摸鱼，划水，看比赛，听老师讲故事，听老师怂恿我们选高钙，看老师和同学讨论题目。只能说上课的节奏很慢，可能刘老师是想要我们自己想出点东西来，所以慢慢讲？但是给我的感觉就是身边来上课的人越来越少，摸鱼的越来越多。

作业挺简单的（有些可能比较难，需要想一想吧），反正不会也可以抄千题解。考试还有好几道作业原题，课本后面的原题，老师上课讲过的题，虽然我听得不认真，但是大致思路还是了解到了，考试还挺顺的。可能调分力度比较大，摸了一个99。

我是大二上(2019秋)全程旁听了刘老师的概率论（因为怂不敢选），然后在大二下(2020春)修了这门课，大二下因为疫情上的是网课，但因为我之前听过一遍了而且后半学期和王作勤老师的拓扑学H冲课所以就没听。

刘老师的概率论课非常有意思，教材用的是Grimmett的Probability and Random Processes，配套的有习题解答《概率论题解1000例》。从一开始的概率空间、随机变量、期望等基本概念出发，之后讲了各种中心极限定理和大数律，外篇补充了lindeberg替换、熵和随机矩阵相关内容。老师上课讲得非常细，也非常幽默，还会写一些古人的话、名人名言以及放一些类似于柯南、古怪歌的视频来引出当天要讲的内容。

至于考试的话，按刘老师往年的套路，题目的难度是非常大的(包括2019秋)，但调分也是非常善良的，出分后很多同学在群里都表示远高于预期。可能是因为疫情的缘故，2020春的期末考试非常简单，几乎没有难题，难度远低于往年，因此我非常顺利地拿到了4.3。

想要学好这门课，前面提到的基本概念一定要熟练掌握，期中后的内容要努力去理解，并且会用（虽然我到现在还不会用lindeberg替换，还好没考orz），比如用强大数律算一些积分（上课例题）。同时要对一些线代的操作比较熟练（考试某些题目可能会用到相似对角化之类的）。对于随机矩阵，听完老师上课讲后，下课要自己回去推一遍，弄懂怎么分类指标，怎么数每种类型的个数，不然到考试了才第一次自己算可能会算不动。

(Probability theory is a measure theory with a soul .   -----Mark Kac )  -----刘党政

刘老师确实讲出了概率论相较于实分析的美丽之处。

关于给分：按照平时*0.3+期末*0.7算，我被老师捞上来3分，刚好没被卡绩。

刚重修完隔壁院系的概率论过来评个分...

第一遍我大二下选的，按照数学学院的培养方案是提前了的。我没搞清楚规章制度，抱着期中考好就继续，不然就退掉下个学期再来反正也不晚的心态学的。然后期中没考好，之后就开始滑水，又不想直接退课了这样自己肯定一次课都不来了。结果期末前一周去退课发现就算是提前选的课，只要在培养方案里面，就不能退（这里说的是两次期末考前退课的机会）。慌得一批，半放弃半努力的学了一周。期末考超级超级差，又没有了一半作业分（期中后没交过作业）所以虽然没挂，但成绩很差……感觉没脸见刘老师了（那次我还发邮件求老师给我退课，结果这事根本就不归他管）呜呜呜呜呜

老师讲的感觉还是不错的，英文书也挺好，一举两得。

刘老师讲课真的特别棒，有时候会觉得明明讲的好像很慢但是回过神来车速已经很快了（？）对待大家问的问题也很耐心。（不过我感觉大三上学概率论会比大二下学实分析同时学在理解和应用上要更轻松一些。

和隔壁张老师比起来刘老师基本没怎么摸球，非常舒适（室友是张老师班的，前半学期不知道的还以为她们选的是组合不是概率论（x）快到期末的时候补充了熵、随机矩阵和Poisson过程，收获还蛮多的。

总之Grimmett是本好教材，老师也是好老师，谢谢刘老师让我这样只求及格的小透明也能觉得概率论也是一门有趣的课程。

刘老师讲课内容还是比较丰富的，老师本人也比较亲民友善，有两次在校道上遇到老师老师还关心了下我的学习情况。每次上课前还会写一句名人名言在黑板上

上课内容前面dalao讲过了，不再赘述，

上半学期主要是摸球，基本也按照书上内容讲，总体难度不大，期中考试也就是摸摸球，除了最后一题35分的随机游走（吐槽下这题如此巨大的分值）有些难算外其他都不难

下半学期难度逐渐加大，内容也加深了很多，并且补充了很多书本上没有的内容，比如lindeberg条件，随机矩阵以及熵相关内容，并且这些补充内容考试都有涉及。总之不是很推荐没接触过实分析的同学选刘老师的课，下半学期内容基本都是在实分析有限测度版本上建成的，但又远不止于此。期末考试难度较大，除了前三题是相对常规以外，后面的题都挺难，不熟悉到相关内容不可能做出来，即使复习到也不一定会。不过个人感觉卷子出的还是挺好的，再难的题也不至于让人完全无从下手，

给分还是很不错的，期末成绩*1.1再按照334给分，最后成功把我海底捞起。

总之还是很推荐刘老师的，不过正如前面同学讲到的，学好刘老师的课真的需要付出很多的努力