我在2020年春学期修读本课程，并于2022年春学期担任本课程助教。

我在修读这门课期间让我印象最深的是，程老师一直在强调数学与物理的联系以及物理对数学的促进甚至推动数学的发展，举了微积分的创立和Fourier的分离变量法这两个实例来说明数学研究和发展的动机之一来自于物理的客观现象和物理研究的需求，这完全纠正了当时热衷于学数学的我对物理的偏见和无知。这一点上我非常感谢程老师，否则我对数学的认识和理解也可能一直会误入歧途。

这学期担任助教后说说这门课：

总体来讲，这门课知识点非常之多, 内容琐碎, 而且很多内容一开始接触并不容易理解，需要反复消化，个人认为难度并不亚于隔壁淑芬A2。

关于数学分析B2课程的定位：

整门课主要围绕多元（向量值）函数的极限、连续、可微、可积等性质展开, 在继承一元函数部分性质外, 我们会发现多元函数有很多在一元函数情况下不存在的新的现象、理论及性质. 一般来说, 这些新的现象、理论及性质一旦在二元或三元情况下存在或被证明, 则不难推广到更多元情形中而无需本质上的改变. 因此整门课的内容都以二元或三元情况讨论为主, 以更好地呈现“直观性“。具体到各章节如下：

1. 空间解析几何：这章没什么好多说的，把课本搞清楚就行，最多参考一下丘维声的《解析几何》就行；想从几何学入手直接上几基（绝对不是解几，确信），与本课程无关；

2. 多变量函数的微分学：主要讲了多变量函数的极限、连续、可微性，隐函数+逆映射定理，参数曲线曲面和多变量的极值。隐函数定理证明非常重要，学习完之后务必做到自己能够正确推导一遍，要领会证明中的motivation和techniques。多变量中的有一些性质都是单变量的推广，无需赘述，同时也要留意单多变量函数中一些性质的区别。注意以下几点：

• 关于求极限问题还有证明中的邻域选取是选取圆形(球形)邻域还是方形(方块)邻域,仅仅是为了计算求解上的方便,本身并没有限制(两者可互相套娃).圆形邻域在计算上便于作极坐标变换,化繁为简;而方形邻域没有变量间联系而产生的限制,故在放缩上便于施展手脚。总之，无论形状，若为邻域，均可套娃;
• 不同于一阶，一般高阶微分形式不具有不变性；
• （硬分析类）证明题解决方法一般都是构造函数或者折线法。构造函数：一种是把多元函数引入单参数后转化成单元函数问题，再用求导、微分中值定理或者其他方法解决；另一种利用“偏导数存在“这一已知条件来构造分段函数以保证新函数该点处的连续性；折线法：例如“|f(x,y)-f(x,y_0)|+≤|f(x,y)-f(x,y_0)|+ |f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|“（具体取决于题干条件强弱），这里需要注意“|f(x,y)-f(x,y_0)|“上关于x的一致性问题。
• 多元函数的最值和（条件）极值问题：注意区分最值（整体）和两个极值（局部）概念，最值问题除了比较驻点处函数值大小外，还需考虑边界上的情况（有时还要留意不可微点）；对于极值问题，若要精细判断驻点处极值情况，则需要借助Hesse矩阵解决。

3. 多变量函数的重积分：这一块在知识理解上没有特别难的地方, 考试要求基本就是掌握重积分的计算或者计算型证明. 难点一个是计算能力, 另外就是技巧要求较高. 掌握以下方法和要求, 把课本习题拿来练手足够了.

• 学会对积分换次序, 分段分区域处理积分;
• 确定一些较复杂的积分区域时一定要画出积分区域的示意图并加以检验.画示意图时一定要充分利用区域所在位置(象限/卦限)、曲线的交点(曲面的交线)等关键信息.
• 熟练掌握不定积分公式, 各种变量代换、换元, 不等式放缩等技巧方法以解决问题. 要学会利用函数的特性(包括对称性、奇偶性、中心对称性等)及积分区域的对称性等性质简化积分计算. 这些方法经常配合第1点使用.
• 换元后注意新积分区域的定义域,同时切记不要忘记Jacobi;
• 关于n重积分的问题要学会通过归纳的思想, 找出其中的递推关系式, 并利用递推的方法进行求解.

4. 场的数学与曲线曲面积分：曲线曲面积分核心就是“Gauss—Stokes公式”，在外微分一节会出现其统一形式。这部分考试要求主要也是会计算，同时要学会用“填挖法”再利用Green/Gauss/Stokes公式计算，尤其注意一下奇点的情形（填挖一个球即可）。关于场论，个人认为有必要借助一些物理上的实例来加深概念的理解。关于算子本身，Nabla算子兼具“向量”和“微商”两种运算属性，进行“数乘”、“点乘”、“叉乘”和“自乘”后分别得到梯度、散度旋度和Laplace算子。同时，Nabla算子的大部分运算法则都继承了向量的运算法则。另外，个人建议习题课补充调和函数这部分内容，至少要把唯一性、平均值原理和强极值原理讲下（教材综合习题里也有），这是场论在数学上的一个重要应用；

5. Fourier分析：主要给出了Dirichlet收敛性定理和平方平均收敛的证明以及简单提及了一下Fourier变换及其相关的几个实例。也许非数专业对这一部分要求不高，所以总体来说就讲得比较简略。尤其是没有引入标准Riemann-Lebesgue引理，很多性质就没法深入讲下去。如果想了解傅里叶级数的渐进性质、收敛速度的话可以参考B3教材，除此之外这本书里引入了标准Riemann—Lebesgue引理后就有局部化引理（Fourier级数收敛性的局部性质），并通过引入Fejer核来得到Cesaro和意义下的收敛性。如果想深入系统掌握Fourier分析这部分的话，可以参考《Elias M. Stein: Fourier Analysis, an Introduction》这本书的第2-6章. 这本书里补充了一些万能工具(比如好核函数, 逼近恒等 等), 以及习题部分也有很多重要的例子.

6. 反常积分和含参变量积分：这部分定理和性质类似于无穷级数，无需赘言。千万不要沉迷于野蛮计算和套判别法的练习中，这部分做到较熟练运用即可。含参变量反常积分主要是为了引入Γ函数和B函数（这两个函数特别重要），其本身并没有什么实际意义，抛去考试因素外了解即可（各种交换积分次序和硬要用实的办法算被复的方法秒掉的反常积分的值）。

关于数学分析B2学习的建议:

不同于B1中为了锻炼出扎实的“分析”功底而需要一定量的习题训练，B2学习中我非常不主张过度刷题（甚至没有任何必要专门买本习题集去刷B2内容的题目）。额外做B2的题目只是为了加深概念理解，而不是在搞奇技淫巧。这里更重要的是把教材(包括参考书中额外补充的知识)和老师讲授的内容反复咀嚼消化, 把概念理解清楚(当然也不要一直拘泥于细节中), 建成自己的知识体系. 当然我也推荐大家拿几本教材类参考书好好品味，这里一些教材类参考书的习题目的还是能加深概念理解以及学习数学知识的，可以合理选用。

关于考试：

这门课考试要求远少于上课内容，简而言之就是主要考计算！因此大家务必独立完成作业里的所有计算题, 而且每道题要一步步算清楚, 尽量避免考完试出现``题目我都会, 但我因算错就被扣了20分"的现象发生（悲）。

期中考试：

和很多数分B2课程的助教交流了一下，我们一致认为这张试卷难度不算很高，试卷除了最后两题外基本都是作业题简单部分的难度，计算题中也没有很难算的题，但是最后没有一个班级均分上70，多数班级均分都没及格。当然一方面是试卷命题质量的问题（倒数第二题过于谔谔以及前面有个别题出得也比较迷惑），另一方面更重要的是大家的“寄算能力”还是需要有待提升，三道算积分的计算题总共平均分几乎就一半，，，

期末考试：

难度比期中还简单，试卷相比期中也更正常，没有什么偏题怪题。总共大概有70分部分是简单题和中档偏易的题目，后30分有一定梯度和难度（不过最后一题是窝习题课讲义里的原题而且课上也讲过，全对及扣1分的加起来也就10个出头）。总体两极分化比较大，高分段还算可观，90+略超二成但70-也占了一定比例，，，

这里放一手试卷及解答：

2022数分B2期中.pdf    2022数分B2期末.pdf

最后特别感谢一下程老师：在科大里教授我的所有老师中，程老师也许不是教书水平最高的老师，但是绝对是最具大师风范的老师（窝甚至为了把某门统寄屑课翘了都原意来旁听程老师的淑芬），极具艺术家、思想家、哲学家的气质与风范。无论是老师上课还是私下跟大家对话，一点都不摆权威和架子，而且老师非常尊重学生的意见。他说话完全就像一位长者在一直跟你讲道理，真正做到把“大脑”作为自己的武器。哪怕他上课要求严厉或是批评，他也是一直在跟你说理。他上课极具条理，所有内容都可以跟你娓娓道来，而且概念和定理都理解得十分透彻，并能融会贯通。每次我协助老师做完助教工作，哪怕是再细小的事情，他也会说一声“谢谢”！程艺老师是我在科大中最敬佩的老师！

另：B2习题课讲义开始筹划，只求不咕咕咕，感谢隔壁班助教们能带飞我，但愿能早日完工，，，

r和i发音完全一样，好奇怪……

永远发不准的Analysis

不过美音和英音分得很清楚

他说自己物理是外行，可我得到的信息是他之前在某个理论物理研究所工作，搞的好像是量子场论？

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从副校长到教育厅长，再到我们的数学老师，他的阅历我们不可能复制。曾试图从他那里得到一些为人处事的方法与道理，却感觉他在努力地抛掉以前的经历，以让自己看起来不那么高高在上。听说十几年之前他就被学生称为“最不像校长的校长”，至于现在，如果不听他讲故事的话应该觉不出来他以前是副校长。

他讲课极其有条理，如果将他的板书誊到自己的笔记本上，你会发现这是这本课本的一个很不错的提纲。

上课比较严但是不批评人，不让同学睡觉或者长时间玩手机，偶尔收发消息他是允许的。两节课之间不休息，厕所可以上。

小测一两周一次，一次两三个题，题目也不难，没准他站你面前调侃你，说着说着就把做法给你了。

以及他还给我们带来了很多问题的答案。

比如少院专用的淑芬B1B2课本是他一个人写的，曾经还有前言，05年初版到现在除了笔误其余没改过（他有时候不会按自己写的课本上讲，转用一个更舒服更条理的方法）。

比如我们当今的GPA与学分的标准是他制定的，制定时还参考了加州理工学院。

◡ ヽ(`Д´)ﾉ ┻━┻

┬─┬ ノ( ゜-゜ノ)

(╯°Д°）╯︵ /(.□ . \)

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期末狂奶一波，考场上讲卷子，不过好像还是有很多人没有被奶到（？）

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看了B1的评价说他不会给83，84这样的卡绩分数？？？

来来来解释解释我94.6的总评

本想听到一点人生的经验

毕竟从第一批博士到副校长到教育厅长再回归老师

然而从头到尾一句数学以外的话也没说...

程老师的讲课水平和人格魅力都值得满分。无论是学业还是人生，听程老师的课都受益匪浅。这就是为什么好多同学即使没选上程老师的课也会过来听（甚至还有两位同学连课上小测都写了并交了）

6.25 补充

在我跟程老师邮件交流表示想把最后一节课上的讲话发到评课社区后，程老师很快就回复了并表示自己要认真准备一个稿子，下面这个文件是程老师自己准备的讲稿

讲稿.pdf

作为一个外院的学生，之前在个性化的时候还再犹豫要不要选程老师的课（指怕被卷死)。但是一个学期下来，觉得能在本科四年的时间内听到如此漂亮的课实在是非常幸运了。

基础的计算自不必多说，程老师在上课时会举较多的例子来提升同学们的计算能力，有的来自课本有的是自己选的题目，不过这也是期末考试重点考察的内容就是了。真正值得一提的程爷爷能非常完备且详细，从问题的产生，到解决问题方法的选择，最后得出结论的一些技巧和条件做出阐释，思维过程非常流畅（除了有个特殊的积分直接加pi/2然后求导能得出很漂亮的结论，这个确实神来之笔）。比较典型的就是对Dirichlet定理的证明，虽然说作为一个工科生这个可能确实是没啥用，但是老师讲完之后有一种每个条件都有它嵌合之处最后得以让机器顺利运转，能让我这种脑子不太灵光的人感受到数学的美妙，而不仅仅是觉得这个东西有用的。

除了专业知识扎实，程老师还是个很有意思的人，会讲高考题，会水群（迷惑墙常客？），也会讲一些人生的道理（指最后一节课振聋发聩的演说），感觉完全没有照片上面那么严肃（bushi

此外今年课程的三位助教也是非常给力，习题课准备的非常认真，对课程内容做出了非常好的补足和拓展（特别吹一波宗师，直接押中了期末最后一题，宗师yyds！），作业也是题题必改，甚至对学生自己的一些奇思妙想也做了非常详细的解释说明，对学生提出的问题也是非常重视，我在祖助教这一组，有两次问题目可能直接耽误了他中午和晚上睡觉的时间，但他还是非常详尽的做出了回答（ps：宗助教叫宗师，那祖助教岂不是。。。。/ww）

最后提一下给分，个人觉得如果能在一门课学到这么多东西那给分只要别太低都算可以接受吧。。。作业基本上3/4A的1/4的A-，期中20%左右期末100，最后4.3

总之，感谢程老师，三位助教的付出，能让我在大学四年里体验到如此美妙的课！

2020 疫情期间 个性化到cy老师班上的，数分B1本来想个性化到cy班上，老师说人太多了，没同意。（不过我B1梁兴老师也很nice）

老师上课是真心nice，我唯一坚持疫情期间每节课都看了的课（有几次看的回放，大部分都是看的直播），老师讲得特别好。

最后期末卷面96（我们班判卷偏严，隔壁某班判卷过松，最后反向调分，比较惨），总评98。

ps：考场带大家看卷子，提醒易错点。

了解了其它同学，cy老师给分也很nice，主要上课也讲得特别清楚，能让人学好数分。

最好cy老师的猫猫镇楼

考场上念卷子让我心里慌慌的（程老师：这都是送分的

今年春季学期一直在划水，本来以为数分要凉了，结果程艺老师出了非常基础的一份卷子，突然让我觉得自己又有救了……

老师讲课很好！还会在群里答疑，甚至还曾经跟着大家一起复读，发表情包 （总之程老师真可爱

B2课上补充了很多证明的东西，虽然考试用不到，（考试都是爆算）但是听起来就蛮有意思的~

还没出分，但是不管多少分都会给程艺老师打永远的10分！！

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OHHHHHH被老师从线下拉到了线上！！

期末94 总评96 呜呜呜呜呜程艺万岁

给分这里我觉得挺好的，期中68期末76总评3.3，但是为什么打8分呢...私以为上课讲题有些混乱（当然是我太菜了听不懂），所以后半学期跑去隔壁wht那里听课了；由于受同学误导以为少院班不限优秀率（我真傻，真的）犹豫了过后从cq换到wht再换到cy...问就是后悔。。

少院tql，并不推荐像我这种菜鸡转来。。平均分中位数都比其他班高将近10分。。

考前自己写了一份课程纲要，供参考：数学分析B2.pdf

个人认为，数学分析B2的难度大于B1，虽然有很多同学持相反的观点。

B2主要以计算为主。但是，在计算之前，需要把概念明确，否则很可能算着算着就懵了，实际上，任何数学课理解概念都是非常重要的。同时，我们主要考虑的是二维和三维（也有更高维）空间，对空间想象力也有要求，可惜本人空间想象能力非常差。

不过B2中有一些证明很有难度。课本内容像隐函数定理、Dirichlet定理这些大定理的证明，虽然考试决不会考，但还是可以看看。综合习题有不少比较难的证明题。至于调和函数相关的内容，老师和助教一般都会补充，可惜我没看，考试寄。

总的来说，程老师上课节奏把握得很好，详略得当，同时提供了很多例子，值得选课。

给分貌似不错，可惜我好像一分没调/(ㄒoㄒ)/~~

听完了B2的最后一节课，感觉爷这辈子最大的失误就是B1没有选程艺老师的课。反正我B1大概也是要重修的，虽然不会占用新生听程艺的课的机会，但是大概不会去重修老师那里去听课而是来程艺班上吧。

数学的内容讲解的非常的清楚，有他的特色。听得津津有味，果然40年任教经历不是说笑的。

这个学期创造了程艺任教四十年的几个第一：程艺第一次通过小测来点名，第一次有班主任在上课前跑到教室里来点名。

期间，在6月1日和6月17日（最后一节课）分别发表了一篇振聋发聩、醍醐灌顶的演讲。我录了音，有时间把文字形式贴在下面。另外，还有诸多程艺在QQ群里的100字左右的发言。

刚刚上完课，还没有考试。给分好坏还不知道。

程老师的课当然还是要打10分的，毕竟老师讲的当然是很不错的。

但是感觉这学期的助教好像没上学期B1的nice啊，作业不怎么发答案（虽然会对个别题目录视频，但个人觉得这样不如pdf），习题课很少而且讲的东西虽然"很数学"但是对考试没啥帮助。别的老师班上差不多一周一次习题课，而且多半讲一些作业加上补充的习题。但是我们助教讲的东西好像B3才会学到？不太理解捏，习题课好像大家也听不太懂的样子。

期中考完查分说可能会倒扣分？过程分多扣了也不给加？这样的确很省事啊😅

感觉上学期B1的助教像天使 

在科大上了两年半很多数学物理方面课程，记忆最深刻的就是程艺老师的淑芬B2。作为计算的基础，许多东西都是会在后面持续使用的（向量、积分这些），程老师上课会很认真的把知识点讲完并给上例题巩固。上课时偶尔会讲一些非常有启迪意义的道理，而且更多像是以朋友身份给我们的建议与鼓励，算是在我最迷茫的时候给我指了一条明路出来。

总之，最最最幸运的就是听了程艺老师的数分B2，是那种没选上翘课也想去听的课程，是在科大最推荐的一门课了！

期末考卷。

2019-2020学年第二学期数学分析(B2)期末考试试卷及参考答案.pdf

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程老师的课大家都知道

相对B1技巧性不高，作业难度不减但是考试容易了许多

稍微认真复习一下，看看往年卷子，考试其实就没啥了

cy，yyds！

老师上课非常好，细致入微，极具条理(这一点从老师编写的教材上就能看出来)；课前会带我们做一些题目以提高理解及计算能力；课堂上金句频出，会分享一些人生心得体会。不过讲课完全照教材上来(毕竟是自己编的)，鲜有惊喜，也算是个小遗憾了。

一年后更新： 上大学以来已经学过6门数学课了，这其中大部分老师虽然都在很认真地备课讲课，但不知为何，无论是线代、概统还是数理方法，总感觉课上得枯燥乏味。现在想想，这些课里面，只有cy的课真正能让人津津有味地听下去，这才是我们真正需要的数学课！

没出分赶来评论。 其实该说的大家都说了，我只想补充一点。我觉得程老师无论是在数学分析上对我有很大帮助，在其他方面感觉程老师真的是一个很优秀很优秀的人，这样优秀的人会给你带来很多的力量与帮助（尤其是对于大一还比较迷茫的新同学）。没啥说的有机会选就完事了

来更新，期中89，期末91，最后总评给了95！程艺yyds！！

一位能够认真完成教学本职工作的老师就已经称得上好老师了，但程老师远不止此。

讲课生动，作业适中，给分超好，除此之外，老师也会在课外给予我们学习和生活的帮助。曾经身居高位，但丝毫感受不到他的架子，反而是努力的融进学生圈子，接触以前没有使用过的新东西，这是我来科大以来所感受到的最棒的人文关怀。

本人缺乏自控力，疫情在家期间几乎没有好好听过一堂课，纯凭考前的死亡冲刺。但，我还是被奶上了3.7，程艺就是我大学四年的男神！

两学期都是压线95，第一学期没感觉，第二学期的时候真是感觉到了程神给分是有多好。期末92 占总分70%，而且作业应该没有拿到满分，就这样都给奶到了95。。。

而且程神讲课也讲得非常好 语速适中，吐字清晰，有条不紊。

B2偏重计算，分析的味道会比B1淡一些，但这就不是老师的错了。有兴趣的同学看看http://abook.hep.com.cn上教材的配套文档或者史济怀的教材和授课视频都会有很大收获

程爷爷确实厉害，跟着程老师学了一年数分（B1，B2），收获颇丰。考场上念题，提醒我们哪里有坑（尽管还是有没做出来的）。。虽然成绩还没出，但仍然直接给满分评价

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后续：期末考有点爆炸，86（怪自己，有一个大题没做出来qaq……），但靠着平时作业硬是被奶到4.0；感谢程老师一年的教导！

这么有名的老师还需要我说吗？毫不犹豫10分！

很有趣的老师，我感觉以后很难遇到这样的老师了，现在离开他了，也有一点遗憾。

本建议适合比较菜的同学，因为cy老师班上dl比较多？

平时分一定要刷满，老师上课会讲一些经典例题来帮助考试，这个一定要听

期中77+期末79—＞总评87，cy老师我爱你！

老师太好了，超级后悔B1没选老师的课。

课讲得好，超级和蔼，给分还好，不能要求更多了。

因为自己比较菜就不放自己的分了，给老师抹黑，反正这学期应该是期中开根号乘10，然后334算的，这调分力度自己感受吧。