中国科学技术大学2025年秋季学期

                  概率论与数理统计考试

一.填空题（30分，每题3分）

1.中国科学技术大学少年班学院打搅的人体测通过概率90%，不打搅的人体测通过概率0.1%；

若一个人通过了体测，请问他打搅的概率。
2.设一个人最长戒色时间X的分布函数为F(x),且期望和方差分别为\(\mu\)和\(\sigma^2\),若随机变量满足F（ay+b）,而期望和方差分别为4.0和4.3，求a和b的值

3.在中区二号楼和四号楼，设每层宿舍的总飞机杯数量x服从参数为3.0的泊松分布（取整），假设宿舍楼一共有n层，并且n足够大，求飞机杯数量在2-4之间的概率，用n表示。n足够大，但是不可以视为无穷

4.设(X,Y)服从二元正态分布N（1,2,1,4,2），其中x为一生炉管次数/一生天数（进行充分连续化），y为GPA数值，则相关系数\(\rho_{xy}\)的数值为多少。

5.设每个柯南的恋爱次数服从参数为⅓的几何分布，求熵H(X)的值（以4.3为底，按照课本定义反而扣分！）

6.设科大宿舍，教学楼，图书馆每间厕所有屎的概率为1/4，则打开400个不同厕所的门，出现大便次数在98-102的概率是多少。

7.设x1,x2,…..,xn分别为n个柯南的炫压抑指数R1，相互独立且来自正态总体分布N(0,\(\sigma^2\)),统计量GPA=\(\frac{a(x1+xn)}{\sqrt{\sum_{i=1}^nxi^2}}\),服从t分布，求a的值。

8.设x1,x2,…..,xn分别为n个柯南的炫压抑指数R2,并且都服从以\(\lambda\)为参数的指数分布,则给出\(\lambda\)的最小方差无偏估计

9.设现在有科大的男生，女生，猫娘，男娘四种性别，对于星穹铁道，绝区零，原神，崩坏三四种游戏的感兴趣程度，则为了使用列联表法研究对游戏的兴趣是否与性别有关，则卡方分布的参数是多少。

10.设中科大一共有1,2，….r个色图群，则在第一个色图群发布一张瑕蝶的色图，在首次回到第一个群之前没有经过第二个群的概率。假设由于柯南劣根性，每个群只会向一个群传递消息，转发该色图。

二.大题（70分）

1.设中科大2098年在北京校区（原伪中国科学院大学，在北上战役后隶属于中国科学技术大学）新修建的体育馆上表面符合\(\frac{2}{\pi}\)\(\frac{1}{1+x^2}\)\(e^{-y}\)，0<x,y<\infty.
(1) 求x,y的边缘密度函数\(f_x(x)\)和\(f_y(y)\)

(2)求条件密度函数\(f_{x|y}(x|y)\)和\(f_{y|x}(y|x)\)(温馨提醒，记得写范围）

(3)求x,y的相关系数\(\rho_{xy}\)

2.设中科大的量子信息专业产能x,消耗资源y,影响力因子z的分布函数f(x,y,z)=\(e^{-x}\cdot y e^{-y} \cdot z\),0<x,y<\(\infty\),0<z<1.且随机变量u,v,w满足u=x,v=xy,w=xyz.

(1)求u,v,w的联合密度函数g(u,v,w)

(2)求u,v,w的边缘密度函数

(3) 你觉得这个分布函数f(x,y,z)是否合理，如果不合理，请说明理由，如果合理，请根据这个函数说明你对科大发展的建议。

3.假设2050年，实现中华民族伟大复兴后，中科大的计算物理A改为不限时考试，试卷无限大，不断由AI生成题目，但是前提为考生不可以在考试期间食用固态食物。考生坚持不住可以提前交卷离开。假设每个考生的离开时间相互独立，且都服从参数为\(\frac{1}{\theta}\)的指数分布。

(1)假设第一个考生离开的时间即为\(t_{最弱学生}\)，请确定a，使得a\(t_{最弱学生}\)为\(\theta\)的无偏估计

(2)设第k个学生坚持不住离开的时间为\(t_k\)，并且已知此时的最大似然函数为

\(L(\theta)=\frac{1}{\theta^k}exp(-\frac{1}{\theta}[\sum_{i=1}^k t_i+(n-k)t_k])\),求\(\theta\)的最大似然估计量\(\theta_L\)

(3)求出\(E(t_k)\),k=1,2,….n,注意指数分布的无记忆性

(4)利用上述结论，证明\(\theta_L\)是否为\(\theta\)的无偏估计量

4.以下是中科大2025年部分神人学生的修读数据，第一组学生并不玩galgame,第二组学生玩galgame

第一组学生数据GPA

第二组学生数据GPA

以下题目皆在a=0.05情况下进行分析

1.能否认为两组数据方差相等

2.能否认为不玩galgame的同学GPA更高

3.你认为以上对数据的分析是否合理，如果不合理，请说明理由；如果合理，你还会玩galgame吗

三.附加题（20分）

1.你认为本试卷难度如何（2分）

2.在2025到2089年的64年中，中国科学技术大学与伪中国科学院大学在丘成桐大学生数学竞赛中的成绩如下：

中国科学技术大学 一共参加了64年，均分为89.7分（100分归一化，并且有涂涛公式进行调分，以下数据同），方差为16.82(分^2)

伪中国科学院大学 一共参加了58年（后期与中国科学技术大学进行中科院主权竞争，消耗大量教学资源，本科生教学受到损害），均分为76.5分，方差为15.24（分^2）

(1)能否认为两个学校方差大小相等

(2)能否认为中国科学技术大学的成绩显著好于中国科学院大学

(3)在中国科学院大学取缔收编为中国科学技术大学北京校区前，其学生与招生老师曾宣称国科大是精英教育，学生数理水平更加扎实，生源质量远好于中国科学技术大学。利用（1），（2）小问的分析结果，结合马克思主义基本原理中客观事实不以人的意志为转移的观点，进行辨析

3.已知正态分布的概率密度函数为\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\),x1,x2….xn独立同分布于f(x),求\(X_n^2=\sum_{i=1}^nx_i^2\)的分布函数

少废话！

给分社区先说给分：

今年课程组规定给分比例3:7（平时分3，期末7），庄老师期中有一次小测，算了10%，变成3：1：6，小测并不正式，难度也不大，非常好混高分。然而当时年轻的我只做了50多分（导致虽然期末考了99，总评也才95）

下面说说课程本身：

老师讲课中规中矩，有时不太连贯，不过上课很有热情。篇幅的安排不甚合理，前面简单的概率论讲的比较久，后面的数理统计就在开快车。PPT做的还是很不错的，比课本简练的多，适合自学，当然上课听了效果肯定是更好了（尽管我后面的课基本都在宿舍睡觉）。

助教还是很不戳的，在群里的问题都会回答，最后改卷的时候感觉应该也是比较奶的。

番外：

本班今年还遇到了一个卷王，导致庄老师最后是一分也没有调，劝各位珍爱GPA，选课远离卷王。

给2分而不给1分，仅仅是因为这个老师讲的还可以。

给分远远没有达到预期，应该整个2021秋概统都是这样的了。本来就是冲着评课社区里说zww给分比较奶，才选她的课，但是啥比jwc不允许调分，所以老师严格按照开学定的比例来给分，平时小测期末分别为3:1:6。而且据fqq老师说，这次的卷子出的很有水平（意思是比较难），我期中小测考的还行，期末失手了，然后收获1字开头的绩点，这门课也成了很多同学在科大第1门挂掉的课。我的评价是，卷子出得难已经够屑的了，jwc还不让调分，才是真正恶心人的事情。另外，某卷王将课程群助教发的内容断章取义传播出去，可能也是最终完全不调分的导火索之一。

老师上课用的PPT与课本脱节也比较严重，讲的顺序和内容也不尽相同，对于我这种照着课本听课的学生来说有点难受，另外妮可的教材编得其实也一般般，重点难点分散于各种长篇大论中

emmmm老师上课还可以，我也做了前几年的卷子感觉还可以。（做完对答案八九十分这样）

可是为什么给总评这么低啊啊啊啊啊

快不及格这种，就离谱。干脆直接挂我算了

我平常作业都交了，小测也还可以（平均分以上）

除非期末我只考了二三十分不然不可能这么低。

难以理解。估计也无法查卷。。

不知道什么情况，我啥也不知道。

课程上，老师讲课节奏很好，浅显易懂，很体谅学生，所以是值得听的课。

作业上，作业一周两次，每次多了可能会有4、5题，难度不高，助教也很认真负责。

考试上，概率论好像一直是统考，节奏上建议先做大题，大题都不难，小题上偶尔会有难题，能卡住不少人，所以建议做完所有题目后再集中解决难题。最后给分貌似挺难评，但是今年是计科置课，计科置课一直都挺难评的，毕竟卷王很多。

来评个课。

为什么选这门课？选错了，因为在选这门课时还没想到自己最后会去数院。

关于老师：老师人很好，一开始没有开录像，但是是因为老师不了解，后面跟老师讲了之后老师就开了。

关于点名：老师说会点名，但其实没有，用的是小小测的方式，但是如果叠课了或有其它原因在学期开始说明并提供证据的话应该没太大关系。

关于讲课：上课用的是PPT，老师的 PPT 虽然看日期可能是 20 年的，但是做得很精美，看 PPT 完全够用。老师上课会和同学互动，我觉得老师讲得最好的地方就是她会把一些很难理解记起来很麻烦的玩意儿（比如说变量代换，拒绝域开口等）总结出一种不太严谨（很不数学）但是确实直观，结果正确且好用的方法。还有的好的地方就是老师会讲相当数量的例题手把手带我们做，还会尝试和同学互动，会强调重点。

关于助教：助教习题课讲得很清晰，方法总结得很好，还会补充一些好题和好模型，就是讲义如果用 latex 而不用手写可能会更好。

关于作业：一次4-5道题，一周大概就是乘个 2，我做得很折磨，但是可能是我自己太拖拉的缘故，同时我还不太会用计算器。

关于考试：感觉这次考试实际上看起来很恶心，实际上算起来感觉还好，最后的计算结果也很简洁。我觉得只要你明白那些结论中的量都是怎么推出来的话而不是硬背结论应该不算难。

关于给分：有1次大小测，3次小小测。大小测 97，作业扣了 0.2，考试成绩似乎没有公布，最后总评 97，应当给分不错。

我实在是受不了了，复习的我头大，这作业答案写的也太抽象了，真是一坨，助教哥字实在写不好吗？

至少清晰一点吧？μ、0、a、\sigema、\theta这几个是真分不清

算了，将就看吧，助教人挺好的，就是字太抽象了

最没有思考量的一集…我考完感觉用脑量不如一局LOL

对完答案发现选择题正确率低于期望值，好好好，这样玩是吧（友情提示：共四道选择题）。

出分88，和4.0就差一个期望…

总而言之，考得很没劲，不像一门数学课，更像一门政治课。孩子政治课全3.3，数学课全4+，杂糅一下3.7，挺合理的。

复习破防了，很多内容说是新加入考纲，老师又没讲，而且往年题也太难了

感谢老师捞捞

复习复破防了，来写写评论。至今为止学得最难受的一门课，感觉上课啥都没讲明白，甚至推公式，只能算是过了一遍内容。还有今年助教回答问题不够热情。

感觉课程内容太多了，一学期上下来只感觉被塞了一堆公式，概率统计的思想没有传达到。速度权衡不太好，可能是整个课程组的问题。

前面概率论部分会花大量的时间慢慢讲，特别是多维随机变量及其分布，导致后面数理统计部分几乎就是开飞机，很多知识点仅仅是提了一嘴，根本没讲过，看往年题又发现可能考，复习过程很崩溃。听老师说近两年换了教材，加了些数理统计的内容。

推荐本辅导书，题难度足够，而且每章末尾的拓展阅读也有些很有用的总结。后悔平时没同步做，可能是这个学期实在太忙了，平时都没怎么额外做题。图书馆就有，学有余力的同学可以同步看看。《概率论与数理统计学习指导与习题精解》 上海交通大学出版社 徐晓岭、王蓉华

选课时突然看到老师今年的课堂暂时抽签人数比较少，怒来评课（bushi）

选择适合自己的老师尤为重要，而庄老师是两年来最对我胃口的老师：浅显易懂，上课逻辑性很强。喜欢听课的同学有福了（）

所谓浅显易懂，指能将书本晦涩的语句、抽象的概念用自己的理解讲出来，并挑选富有代表性的例题进行应用型训练。比如老师绝不会只念PPT，读定义，而是换一种直击要害且接地气的说法进行释义，个人认为这一点对于理解是很重要的。

所谓逻辑性强，指课堂内容结构清晰，使听者能够明确知道这一部分在干什么，两部分之间有什么关联，而不是一头雾水，需要自己揣摩。

作业量不多，我那年没有小测没有点名，给分也很好，按比例算出来会卡绩但老师捞了。今年上随机过程时没能选到庄老师的课，直接就是一头雾水浑浑噩噩，翘课去蹭了几节依然有通透之感。推荐推荐！

感觉这门课就是一门比较彻底的自学课……笨人听课感觉完全跟不上，ppt页数巨多，但是复盘的时候又发现其实没什么知识点，复习起来竟然是最容易的一科。当时还以为完全复习不完了，提前哀悼，结果发现从期末每道小题都不太会，到基本掌握期末考试题，只用了两三天的样子（放隔壁几门课还不够我掌握基础内容呢）。不过我复习的时候喜欢看公式，认为这样有安全感，导致考场上甚至忘了枢轴变量的公式了（只记了最长的那个）然后稀里糊涂现推。好在其他题计算量似乎不大，还是比较容易写完的。

不知道期末分数，不过这是我唯一一门4.3的数理课了，说明难度上确实是不太高的，以及给分应该还不错吧。

庄老师很有亲和力，上课氛围轻松，作业比起别的班感觉算少的，非常适合我这种看上去不太聪明且喜欢当小透明的学生。

26spring更新：

两年了，自己也去统计专业了，接触了很多统计课之后，回头看看感觉庄老师的课真的很有意思，可惜老师这学期不开班了呜呜

简述情况:共十一次作业补交了两次，一次大型小测考了73，两次点名小测都没去。期末考试大概有50分。总评85。看到总评的时候直接震惊。

最后一节课老师老师讲的往年试卷，考试时候出现了一道20分的原题。助教老师人很好，很好说话，就是字太抽象了哈哈哈哈。zww老师的课讲的真的没的说，认真细致程度/售后服务堪比高中的老师，口条很顺，有种恨不得嚼碎了喂给你的细心的感觉，对比管院某些统计金融系的老师科研做的好但是课讲的稀碎（）。

直接冲吧…特别是笨鸟（比如我），小脑瓜不好使但是愿意听老师话愿意付出时间的小伙伴直接选。

庄老师非常和蔼可亲，在概率论部分讲解非常清晰细致，但是进入数理统计部分之后进度带的非常快，后期有一点跟不上。上课用的是自己的课件，在体系上和教材略有差别，而且这学期用的新教材篇幅庞大且重点不突出，所以上课最好要做好笔记。

老师除了最后一次课外，平时基本不点名；在临近期中时会组织一次小测，题目很简单，小测成绩应该会在总评中有所体现。今年的期末卷子感觉考了一点上课没有强调过的东西，所以复习的时候一定要好好翻教材。

给分非常好，比我预估的高了不少。

老师人很好，PPT也很给力、适合课后速成，课上非常适合摸鱼(不过今年因为种种原因貌似没调分，最后痛失4.3)。

这里吐槽一下课程本身：概率部分许多高中都讲过了，与其重复一遍还不如多讲讲统计；期末考试也很套路化，总感觉到头来没学到太多东西。

很喜欢老师上课的风格，感觉就是把我们当小学生一样教（无贬义😎），每一个知识点都讲得很详细，同时也会用很多例子来辅助理解，基本认真听就肯定能听明白。

上课大部分时间使用的是老师自己的PPT，小部分会讲解课本上的例题，感觉后面数理统计部分可以参照PPT上，里面的公式列的很清楚，然后详细列举了不同的题型分类，对着一个一个看懂就没问题！

作业量正常，个别几次的计算量很大，作业认真写了交上去基本就是满分。

两位助教很认真，每次回答问题都很快，然后也很有耐心回答我愚蠢的提问😭（真的哭死）

关于考试，今年因为改革增加了期中考试，所以期末考试中所有的大题全部都是数理统计（老师上课说大概概率论和数理统计一半一半，所以我真的没花很多时间看数理统计😭），然后考试考了大样本方法（没错老师上课说大概率用不到我一点也没看）15分乱写一通

给分，绝对调分了，期中比均分高大概4、5分，期末感觉7、80，出分4.0😭

老师的概统真的可以算是最考虑学生感受的课程。

上课速度把控非常好，基本上能在课程上完全吸收所有内容。

关键老师每一章上完课都有习题总结，会把往年题的相应部分带着刷一遍。考试前往年题都基本刷完了。考试所有题型都会覆盖到，每个细节上课都会提到，认真听课这门课基本赢稳了。

还没出分先来评价一下课程。

不知道为什么，遇到女老师讲课就觉得很能听进去（叠甲本人无任何性别对立倾向和思想），这学期大部分课都去了，结果唯一一次小测给旷了。。。

内容实际上都不怎么难，拿着ppt看看也基本能学会，速通选手也能得到还不错的分数吧，题型固定，建议考前五天速通足够。

期中98，期末未知但一定寄了，等出分再来更新

出分了，4.0，神中神！！！期末分数不公布，但是达到预期了。

更新，今天查卷问了一下期末卷面72，中位数66，给分感觉还是很好的😋

重修人，1.7到3.3，老师伟大无需多言

庄老师讲课条理清晰，非常适合上课听课的人，超级推荐！

先占个坑，等出分，草草五道大题，积分给我算麻了。

出分了，给我优秀那就是神！

老师讲课水平完全没问题，给分也很好，完全可以选！！！

期末考试选择题比较牛马，考各种概念，其他还好。复习的时候一定要多看看概念，多刷刷往年题考概念的部分！

老师水平还可以，课程内容重点的部分基本都有涵盖到，概率部分重点讲了，统计部分最后几节课感觉有点讲的有点急了，但这部分也属于比较固定的部分，无伤大雅。有个缺点是老师讲课可能不会完全按照课本顺序和课本内容来，有时候可能会听的比较糊涂。今年卷子比往年简单一些，但是本人没对答案，总评感觉应该是上调了几分或者改卷松了点的。

看答案发现第一大题第一问积分积错了😅，一般来说二十分是全没了，这样看来老师捞了我至少五分，老师伟大无需多言。

老师给分好，给分好，给分好！！！

助教老师过年讲题。

第一次评课，庄老师讲课蛮好的，会带着同学推一些重点的地方，助教也很负责

期末考试可以先看看往年题，针对性复习下，熟练度很重要，所以，还是要靠刷题？

今年期末延长了半小时，但我依旧没有做完，最后总评很难看，是我太菜了罢

给9分，总的来说老师人很好，可惜我上课太摸鱼了以至于期末速成暴毙...对于成绩一般的同学来说，概统真的不能几天（至少是一天）从0速成啊！平时一定要好好学呜呜呜呜....

一开始期末估分四五十，因为只写了六十几分，最终按照平时30%期中（小测）10%期末60%来算的话期末卷面拿了64分，说明助教改卷子已经很放水了。

另，不清楚这次优秀率有无给满。毕竟概统群被迫解散，jwc今年给分又卡的挺严....