这里原本是2019年秋季学期我考完线代期末之后记录感想以及存放往年题资源的地方，往年题重新整理并放在文末了（整理自科大的各个群的群文件，之所以放出来是不想让黑心书店赚这一笔）。

在当时的线代学习以及此后学习其他的数学、物理以及其他学科的知识的过程中，我越来越感到科大线性代数B1的教学存在很大的问题，而且这些问题恐怕并不是什么自己提高就多学一点或者说多选一门线性代数B2就可以弥补的。关于这门课的问题，建议阅读：http://icourse.club/course/14343/#review-31295。

1. 这门课扭曲了大家对于线性代数的认知

线性代数是什么？对于一般的理工科专业的同学来说，学线性代数有什么用？我觉得这两个问题是一门所谓数理基础课首先要回答的（可以把“线性代数”替换成“微积分”“概率论与数理统计”等），因为它们是我们对一门学科的最基本的认知，有了这些，我们才能搭建起一个知识的框架，在今后漫长的人生中，新学到的东西才能放进这个框架里而得以留存下来，而不是经历一次次痛苦的重构。而我们的教材和课程，对这两个问题，不是避而不谈，就是给出了贻害无穷的答案。我们的教材和课程，从你见到线性代数的第一眼，就在尝试把行列式的计算和矩阵的计算这一套游戏规则灌输给你。从课本到习题再到考试，在我们的课本上，深刻而优美的代数定理被变为矩阵等式而用打洞技巧得以证明，在证明的过程中，你完全看不出这些定理的含义是什么，也看不出它在线性代数的体系中处于什么样的地位；习题里面则是演练这套规则，并且用种种技巧挫败你的自信心；考试则是秩不等式、高斯消元、求逆矩阵一类的东西，不仅缺乏motivation，还强烈地依赖于你的手算能力。总而言之，尽管课本实际上介绍了线性空间和线性变换，但完全没有把它们放在应有的位置。

线性空间和线性变换是线性代数的核心研究对象，而矩阵（作为线性变换的表示）仅仅是我们研究线性空间和线性变换的工具罢了。正如群论的核心研究对象是群，矩阵（作为群的表示）仅仅是我们研究群的工具。至于线性方程组，它是重要的例子和应用，某种意义上可以看成是线性代数的一个起源，但绝不应该在线性代数里面占据那么重要的位置，以至于占据了整本书将近1/3的篇幅。比如说，李群和李代数的起源同样是研究微分方程，但是有哪一门现代的李群李代数课程会用如此大的篇幅讲微分方程？

线性代数是研究线性空间（向量空间）、模和其上的线性变换以及与之
有关的问题（如线性、双线性、二次函数等）的数学学科．

——龚昇《线性代数五讲·前言》

线性代数研究的是线性空间以及线性空间的线性变换．在线性空
间取定一组基下，线性变换便和矩阵建立了一一对应关系．这样，线性
变换就和矩阵紧密联系起来。

——李炯生《线性代数·前言》

线性代数主要研究有限维向量空间上的线性映射．

——Axler.Linear Algebra Done Right

事实上，在后续课程的学习中，线性空间和线性变换的概念几乎是无处不在的，比如说，在研究线性微分方程的时候，我们希望求出方程的通解，而由于方程的线性性，解的线性组合仍然是解，这就意味着解空间是一个线性空间，我们需要找一组基底，去把这个线性空间中所有的元素表示成它们的线性组合，而像分离变量法就是寻找这种基底的一个方法，朗斯基行列式则是判断这些解是否线性相关的工具。进一步，我们还可以把线性微分方程看成是一个线性变换作用在函数上的结果，正如殷峥老师所言：

如果你的心中只有矩阵和行列式，没有线性空间和线性变换的概念，又如何去理解无穷维的线性微分算子呢？

很多学物理的同学直到学量子力学的时候才开始学线性代数，这是因为线性空间和线性映射在量子力学中占据了绝对的中心地位。在经典力学中，物理态是相空间（一个辛流形）上的点，而物理量是相空间上的函数，所以我们要用微积分来处理；而在量子力学中，物理态是一个线性空间（希尔伯特空间）中的向量，而物理量是这个线性空间上的线性变换，完完全全是用线性代数描述的，仅有的问题是，有的时候这个线性空间是有限维的，我们可以用矩阵来描述；而有的时候这个线性空间是无穷维的，我们就需要求助于微分方程了。可以说，不会线性代数就不可能学会量子力学。

对于学计算机类专业的同学来说，线性空间和线性映射也日渐成为常见而不能绕过的工具。比如机器学习的理论中就大量运用线性代数。当计科同学来问我一个他在机器学习课上遇到的线性代数问题，我一看，不就是线性代数基本定理：一个线性映射的像空间维数与核空间的维数之和为其所在线性空间的维数。而这恰恰是科大的线性代数所不讲的——我们只讲一个线性方程组的版本，也就是线性方程组的解集结构。事实上，就连《程序员的数学》这种书，讲的线性空间与线性映射，都比科大的线代清楚。

为什么说这种“线性代数就是矩阵和行列式”的认识造成的伤害难以用多上一门课弥补呢？因为如果你开始就没有认识到线性映射的作用，没有把矩阵当成选定基底之后的线性映射，看不出矩阵相似其实就是说它们表示相同的线性映射，那么此后你学的东西，都没有一个合适的框架去放它。比如分块对角化，在矩阵的框架下看就仅仅是一个帮助计算的技巧，而在线性映射的观点看，则是把线性映射限制在一个不变子空间上，以降低研究它的难度。在这个观点下，它和对角化、上三角化这些就是相同思路下的产物，而不是几种孤立的技术。

某种意义上，科大的线性代数教学，不论是线代A还是线代B，都被计算数学绑架了，上成了矩阵论初步。这在几十年前线性代数的应用还没有这么普遍的时候，还能作为一个教学特色；但在线性代数无处不在的今天，这种线性代数教学的缺位是全然不负责任的行为！

2. 这门课打击了大家学习线性代数的兴趣和信心。

恐怕大多数人都不会喜欢手算逆矩阵这种繁琐而无趣的计算，也没有那种一眼看出计算那种奇形怪状的行列式的技巧。事实上，技巧在数学里面并不是多么重要的东西，也很容易随着时间流逝而失去。但是，在面对想了一晚上还毫无头绪的作业题的时候，面对明明自己知道做法却因为紧张等原因算错数而一败涂地的考试的时候，还有多少人能保持学习的热情呢？何况这门课简直把优美的结论讲得无比丑陋，把简单的东西讲得无比复杂，实在让人难以提起兴趣——但它又是如此重要，以至于你现在不去学，以后还是绕不开。于是线性代数成为了飘在很多同学心头的一朵乌云。

3. 这门课给后续课程挖了数不尽的坑。

前面已经提过，线性代数和微分方程，线性代数与量子力学之间都有着非常紧密的联系，于是我们就能看到这样的怪现状：

理论力学课讲刚体之前先讲线性代数

数理方程课老师发现大家不知道什么是对偶空间，补充之后被有的同学说讲了线性代数A2的内容

量子力学、高等量子力学、量子统计力学这种高年级课程普遍要从线性代数讲起

…………………………

线性代数教学的不足，不是对一部分同学而言“吃不饱”，而是系统性地影响了后续课程的讲授，是“基础不牢，地动山摇”。

4. 由于讲不清楚线性空间和线性映射，矩阵的计算规则变得如同天降，因而也非常容易遗忘，同学们对概念的理解普遍也很浅薄。

我听过一些学过线代B1甚至还拿了很高分数的同学问出这种离谱问题：

实对称矩阵里面有多少可以对角化？

一个矩阵和它的Jordan标准型是相似还是相合？

（一段初等行变换过程）为什么这里前后矩阵的行列式不一样

…………………………

这实际上就是对概念完全不理解，就被作业和考试赶进了细节和技巧的汪洋大海的结果。事实上，我觉得如果不是学了线性映射，我完全无法理解这些问题：

为什么要把矩阵乘法规定为现在这个样子？

为什么那么多自然定律，从一维推广到高维时，只需要把数换成矩阵，就能继续成立？换而言之，为什么自然规律可以用矩阵描述？

矩阵的相抵、相似和相合各自意味着什么？

我觉得只有想清楚这种“务虚”的问题，真正理解并且长久地掌握线性代数，打扎实数理基础，才是有可能的。数理基础不是刷题刷出来的，而是在大量例子和实践中，对基本的概念进行深入的思考得到的。

为了说明我心目中的线性代数应该是什么样子的，我罗列出一些正常的线性代数教材。

线性代数及其应用导论.pdf

这本书是Caltech（加州理工学院）教材的中译本，作者是Apostol，他的微积分教材Calculus, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra和Calculus, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications同样值得一读，可惜没有中译本。

为了说明我心目中一门合格的线性代数课程是什么样的，我几经搜罗才在中文世界浩如烟海的教材中找到这一本能用的。为什么说这本书好呢？

首先，它把线性空间和线性映射放在了中心地位，而不是矩阵和行列式。这一点不用多说。

其次，它从空间解析几何和向量开始引入线性空间，然后从线性映射的表示引入矩阵，强调了几何直观，利于大家理解线性空间的概念。在这个过程中，原本“抽象”的线性空间和线性映射马上就有了大量鲜活的例子，而且用空间向量研究几何是刚刚经历高考的大一同学们所熟悉的东西（至少全国卷的立体几何往往是用空间向量做的），很容易接受这些概念，最起码不会产生“向量就是一堆数”这样的印象——高中生都知道要先选取基底建立坐标系，才能把向量写成数组的形式呢。不过，不太喜欢解析几何的同学，稍微跳过第二章的部分内容，也不会对后面的内容产生很大的影响。

而科大线代B1的课本《线性代数与解析几何》却是先讲一堆解析几何，然后跳去讲线性方程组，从线性方程组变出矩阵和行列式这两个除了解方程之外不知道有什么用的怪胎，然后算半个学期的高斯消元，最后在全书的最后一章回到解析几何，用二次型研究二次曲面。仅仅是为了结合而结合，实际上仍然是强调分块矩阵运算技巧（所谓“华罗庚的弟子会打洞”）的计算数学学派影响之下的矩阵代数和传统的解析几何的缝合，完全失去了当初学习的苏式教材将几何与代数紧密结合的特色，只能说是东施效颦，画虎类犬。

最后，此书由微积分教材改编而来，包含的大量和微积分和微分方程相关的内容，能让大家感受到线性代数的强大之处，也不会把视野局限于有限维的情况。

线性代数应该这样学Liner Algebra Done Right(中文).pdf

这本是以线性空间理论为纲讲线代的，可以说是非常贴近线代的本质了。我之前觉得这是全世界最好的线性代数教材，直到后来才意识到这本书实际上是另一个极端，就是几乎完全不讲矩阵和行列式。事实上这本书在全球范围内都被广泛采用，在国内的声望也很高（我就听过一些老师对此书的赞许）。我猜想前者的原因是有的地方线代是两学期的，而后者的原因是国内不少同学苦同济线代久矣，一见此书如久旱逢甘霖。在我学到这书的第三章之前，我既不知道线性代数是什么，也不懂矩阵是什么。当时我还不怎么翘课，但是在线性代数B1面前，以我的平庸智力，是不可能学会的。只有这种讲人话的书才能看明白。

线性代数疑难问题选讲.pdf

如果没空看别的书，这本书最起码可以让人感觉线性代数是可以理解的。但是它并不能告诉你更多线性代数真正重要的东西。

理论力学习题课·线性代数复习.pdf

一个取材自Linear Algebra Done Right的为物理方向同学准备的线性代数补丁。

【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili

一系列可视化的介绍线性代数的视频，作者的声音很好听（x），讲得也很好。据说申屠老师上课会给同学们看这个。

2019秋期末考试题和参考解答.pdf

线性代数往年题合集.zip

陈效群老师最近好像已经不再教课了，但是还是想要在这里评价一下当年上过的她的线性代数课程。以及，顺带评价一下整个科大这门课，以及这本教材《线性代数与解析几何》的问题。

结合我对这门课其他老师的了解，其实整个科大线性代数B1课程都具有一些严重的共性问题，此前有两位前辈已经对”这门课应该讲什么“给出了比较详实的回答。我主要从自己的体验，以及和后续课程的联系方面指出这门课程的其他问题。

我是大一入学第一个学期直接上的这门课，当时上这门课的感觉就是云里雾里的。作为对比，对于数学分析B系列，由于和力学热学电磁学结合比较紧密，很多概念还是比较容易直观理解的，也比较容易接受它们引入的动机和应用，定理和定理之间的逻辑链条也比较清晰。即使是一些初次接触比较抽象的概念，比如极限的 \(\epsilon -\delta\)语言，相比而言也都有比较形象的理解，并且最终可以明白这么定义的动机何在。

但是线性代数这门课，学到最后，除了对于线性方程组的解有了明确的判断准则，其他各个知识点都感觉学的不太明白，一是没有直观的概念，二是各自之间没有太大联系，最后也不知道为什么要这么做。

在这种情况下，期末的时候我只能临时抱佛脚，放弃了对知识的理解，把不理解的概念和题目当成背书一样背下来，把书上每一个例题都过一遍，居然考出了本科四年的最高分。这种反差让我感到非常滑稽又惭愧。但这也能说明这门课程的教学和考试之间存在一些问题。

结合我对这门课其他老师的了解，其实整个科大线性代数B1课程都具有一些严重的共性问题，主要是以下几点：

1.其没有给出任何与后续课程的联系：

线性代数是非常多后续学科的基础，其重要性甚至比微积分还要高。除了基础数学之外（泛函，抽代，表示论等等），在计算数学，算法/统计/数据分析，机器学习/AI，理论力学，量子力学，场论......线性代数是无处不在的。

但这门课并没有给出任何与后续课程的联系，这门课程是与后续课程完全割裂的。

有前人评价，这是一门被“计算数学”绑架了的线性代数。的确，这门课程的内容受到了计算数学教学的影响。但是，从这门课本身，我却看不出任何计算数学的影子。直到大三再次修读计算方法课程时，才能发现到二者之间是有联系的，可是那个时候线性代数的知识都早已忘掉了。

如果Vandermonde行列式是为了做插值和数值积分，那为何不早点介绍背景，而不用让学生在不知道有何意义的各种特殊行列式里做计算？在线性代数里讲了很久的Gauss消元法，可为什么不能多进一点点，去讲一讲LU分解，以及在计算数学中的重要意义？

除了计算数学，这门课在其他学科的应用就涉及的更少了。

如果这是一门工科线代，那为什么没有讲列空间，零空间，像空间的概念，不讲秩与它们的联系？这些是低秩分解/主成分分析的基础。这门课几乎没有和实际生活中的模型的联系，也没有和一些工科中的应用的联系。矩阵可以和图联系起来，可以和随机过程中马尔科夫链的转移矩阵联系起来，这些也是很好的可以帮助理解的实例，但是在这门课中我们什么也不知道。

如果这是一门物理学的线代，它也没有为后续课程做好基础，科大每一个学物理的同学都在后续课程中面临着开学先讲几周线性代数的无奈。有些知识是完全没有讲，有些知识是提到了，但是没有得到强调，也没有给出和实际的联系。比如，矩阵代表的线性变换可以作用坐标架上，也可以直接作用在向量上。这两种观点之间的差别在哪里？在实际应用中我们何时用前者，何时用后者？举一个实例，我们力学中使用的洛伦兹变换是坐标架的变换还是向量的变换？关于量子力学涉及的酉空间的内容，基本上也是一笔带过。关于矩阵的同时对角化，没有提及。非常优美而又非常自然的Riesz表示定理，也没有提及。

这更不可能是数学系的线代，因为其并没有数学上的深度，也没有给后续数学课程构造联系。线性代数中对于矩阵的表示的处理，其实和群表示论中的方法是类似的；矩阵的范数定义和泛函的范数定义是类似的；线性空间的基本概念会出现在线性泛函分析和算子理论中，这些都没有得到体现。

所以这门线性代数不论对未来想要做哪个方向的学生，都是一门和后续内容完全割裂的课。这门课程学完，会感觉到与后续课程好像没有任何联系，并由于长时间得不到应用，被逐渐忘却。直到多年之后，在后续课程中，也许才能如梦初醒，并且为当年的线性代数课程，留下悔恨的泪水。

2.这门课没有讲好线性代数的核心概念，以及引入概念的动机：

关于线性代数的核心是什么，之前有前人的评论说了很多了，可以参考这两个回答。

线性代数(B1)（陈效群） - USTC评课社区 (icourse.club)

线性代数(B1)（申屠钧超） - USTC评课社区 (icourse.club)

这门课对于线性代数的核心概念：线性变换及其矩阵表示，线性空间...确实没有得到足够的强调。这本教材似乎就是不同的概念的堆彻，概念和概念之间没有主次之分。

学生学完之后，或许记得有矩阵，有行列式，有很多很多的计算规则，但是他们之间的关系是什么？为什么矩阵乘法如此定义？矩阵的行数和列数意味着什么？齐次线性方程组解空间的维数如何确定？给矩阵“打洞”实际上是在做什么？

学生或许记得有相似，相抵，相合，但是它们一般会在哪些场景应用？是在什么背景下提出来的？能够解决什么样的问题？相比来说，哪个概念更为核心？学生或许记得有秩，迹，特征值，但其背景又是如何？

我不敢说我就能把所有的问题解答好，也并不能要求一本教材，或者一位老师就能够解答所有的这些问题。但是完全没有，就是另一个极端了。

陈效群老师的教材以及上课风格，就是给出一个又一个定理，并且一步一步地把矩阵拆成最基本的元素去证明。这样看起来是处处无懈可击的，但是问题是给我们留不下任何印象。

有时我们就是需要一些高观点的定理的总结和意义，这样我们才能让知识连成一个整体。有时我们就是需要一些不那么严谨的表述，所谓的“图像”，这样才能直观的在大脑里给这些知识一个印象，一个存放的容器。

这门课已经没有和实际应用的联系了，但是现在我们连定理概念的背景和高观点总结都没有，可谓是没有前因，也没有后果。如果把引入概念的背景讲好，我们就会发现，每一个概念的引入其实都是非常自然的，并不是无中生有，凭空出现的定义，而是大自然本来就该有的东西。这些内容有时会在其他授课老师的课堂中口头提及，但是我们应该把这些“意义”，“动机”放到教材里或者讲义里，得到更多的强调。

3.这门课对授课对象的数学基础是有要求的，对非数学系/非数竞基础的同学来说，其上手难度并不低：

前面说了这么多这门课的缺陷，有些同学觉得：看起来这门课是不太好，可能学不到什么东西，但是至少应该不难吧？

也并不是，这门课有些内容实际上是偏抽象的，难度并不低，对非数学系的同学来说，并不像其他工科学校开设的线性代数或者考研线性代数一样简单。

这门课是以线性方程组起手的，这种引入方式本身没太大问题，因为线性方程组对于中学生来说是最容易掌握的，也是最简单的引入矩阵的方式之一，学到这里大家往往还觉得“线性代数就这？”。

但从线性方程组结束之后，难度就会陡然上升，抽象的内容越来越多，其实对学生理解抽象数学定理的能力是有要求的。比如，面对行列式处的代数余子式，逆序数的各种定义，初见可能会在纷繁的定义中迷失；遇到线性空间的八条性质，初次面对的同学很容易就会产生疑问，“为什么我们要做这么显然的事情？”，面对很多抽象数学概念，比如等价关系，类的定义，同学们往往也是头一次遇到。只是，在这门课中，这些内容往往是不会考的，所以如果只是为了考试而学习，这些内容可以被甩在脑后。

但是作为教材和知识的一部分，这门课在知识层面上并不是一个“平滑的学习曲线”，“循序渐进地引入”，这本教材也不是一个“容易入门的教材”。如果说学习是爬山，这门课的台阶依然是比较陡的。

也许其他几位评价者学习能力都比较强，没有发现这个问题，但是这个问题对普通的学习者来说也非常重要。

MIT的线性代数是我们目前已知最好的线性代数入门课程，但是其侧重点与我们的教材差别比较大。国内其他学校也有非常不错的线性代数入门教材，比如清华大学的《线性代数入门》。面对这个问题，我们只有从其他教材上寻求帮助。没有人要求你只能学习一门教材，只能观看一门课程。如果你感觉到这门课中有某个知识点的引入太过生硬让人不明所以，就要从其他的教材中寻找答案。善用互联网和知乎，比如3B1B的视频，知乎专栏，也是对于不明所以的知识点的好的补充。

4.最后，这门课也没有使学生得到初步的严格数学锻炼：

前面我们说了这门课缺乏应用，背景，动机，总结，也不够对新手友好，这些是广大非数学系学生最需要的。

但是有些学生未来也许会用到更严格的数学，比如从事理论计算机，控制理论，数理经济学研究的同学。但这门课依然没有在这方面给出足够的训练。这门课程几乎不考证明，也是对这种能力的一种弱化。这门课没有办法告诉你：当你面对一个命题时，你该如何去证明，有哪些思路，比如数学归纳法，反证法；也没有强调集合，映射的语言和基本逻辑。线性映射是一种特殊的映射，用来介绍映射的基本概念也是非常合适的，但是这本书也没有介绍。

由于这不是绝大多数同学所关心的，此处不再赘述。

综上所述，这门课的教学重点，教学对象和教学目标都不明确。其入门难度并不低，所花时间并不少：而收获又几乎没有，可以称之为依托答辩。

学生学习到最后只感觉到了各种概念的堆彻，以及一些熟练的计算技巧，但是由于前后内容割裂，考试结束很快就会忘记这些概念和技巧。

这门课不仅是质量完全配不上科大所声称的“数理基础”培养，还使得学生对线性代数出现严重的错误认知，掌握不到线性代数的核心。正如另一位同学所说，这门课对于学生的负面影响，如果不能意识到，也许好几年都不能挽救回来。

除此之外，这门课还在不断磨灭学生的求知兴趣和热情，让学生们开始把“理解概念”和“做出题目”割裂，因为即使搞不太懂概念，记住计算技巧也能把题目做出大半；开始把"提出问题/解决问题的能力"和“完成任务/获得高分”割裂，因为即使完全不知道如何把实际的问题抽象成线性代数问题，也可以完成这门课布置的任务，并获得一个差不多的分数。从此之后，学生们会更把学习看作是任务和考试，而不是求知和探索。这门课是在这个过程中是起到推波助澜的作用的。

有志于寻求真正知识的同学，也许会通过自学其他教材/课程来自救，这也是目前唯一可行的解决方案。

但是，在科大繁重的其他课程的课业压力下，多少学生可以抽出业余时间来自学线性代数？在考试大纲不变，和科大以GPA为纲的风气下，又有多少人愿意多花时间去独自一个人钻研这些对提升GPA没有帮助的知识？

教育应该是帮助学生更方便的获得知识，以及更好地激发学生的探索动机，而不是给学生添乱。事到如今，我们或许改变不了唯GPA论而非“更好地认识世界/解决实际问题”的大环境，但是也应该使得GPA这个指挥棒能更科学更高效，比如，让考试更能反应学生的真实水平，让学生能在教学大纲的指导下，稍微多学习到一些真正的知识，这就要从修改授课大纲，培养计划和采用更好的教材开始。

比如，工科线性代数完全可以以MIT的教材为蓝本，再做补充。物理学科的线性代数可以让物理这边的老师自行教学。如果学校能够组织写出新的类似于史济怀那样的经典教材自然是最好，但是如果不能，采用现有的外校教材或者国外也是完全可以的。

最后，以严济慈的话做结尾：

“如果一个青年考进大学后，由于教学的原因，一年、二年、三年过去了，雄心壮志不是越来越大，而是越来越小，从蓬勃向上到畏缩不前，那我们就是误人子弟，对不起年轻人，对不起党和国家。这是我们当教师、办学校的人所应当十分警惕的。”